Distintas real N tuplas puede ser salpicado por otro para dar distintos números reales

Question

Dado $ x_1,x_2, ..., x_n$ distintos real $N$ tuplas. Mostrar que existe una $N$ tupla $a$ tal que $(x_i . a)^n_{i=1}$ son todos distintos, donde . es el punto real del producto.

Pensamientos: he intentado probar el contrapositivo utilizando el principio del palomar y la no degeneración de el punto real del producto. Sin embargo, yo sólo era capaz de mostrar (wlog) que $x_1.a=x_2.a$ para infinidad de $a$. Pero esto no da $x_1=x_2$.

Un comentario en antecedentes:

Deje $H$ ser un diagonalisable operador en una real/complejo espacio vectorial $V$. Entonces sabemos que el $V=\oplus V_i $ donde $V_i$ es el subespacio propio correspondientes a distintos valores propios $\lambda_i$$H$. Que la suma es directa se basa en el hecho de que el $\lambda_i$'s son distintos.

En álgebras de Lie a menudo consideramos el eigen-descomposición de un espacio actúa no sólo uno diagonalisable operador $H$ pero por un espacio vectorial de las condiciones mutuamente desplazamientos diagonalisable operadores (el vector de espacio que tenemos en mente es la Cartan subalgebra). En esta situación, el análogo de subespacios propios son conocidos como el peso espacios y muestre su suma es directa, es suficiente para demostrar lo que he pedido.

Answer 1

Dadas dos distintos $x_i, x_j$, la $B_{ij}$ de tuplas $b$ tal que $b\cdot x_i=b\cdot x_j$ es un hyperplane que pasa por el origen. Hay en la mayoría de las $\frac{n(n-1)}{2}$ distintos tales $B_{ij}$, lo que significa que el conjunto de $$A=\Bbb R^N\setminus\bigcup_{1\leq i<j\leq n}B_{ij}$$is non-empty (you would need the number of distinct $B$ to be uncountably infinite to even hope to cover all of $\Bbb R^N$). Let $$ be any element of $$, y usted tiene el resultado.