¿Por qué$ \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\sqrt{\sin(x)}}$ mientras que convergen $\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\sin(x)}$ diverge?

Question

Esencialmente, para mí, la pregunta hierve abajo búsqueda de un convergentes majorant para $$\left|\frac{1}{\sqrt{\sin(x)}}\right|$$ in the interval $(0, \pi)$ thereby proving convergence of $$ \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\sqrt{\sin(x)}}. $$ no puedo pensar en una buena majorant aunque.

Answer 1

Bastante por la misma razón que $$\int_0^1\frac{dt}{\sqrt t}$$ converge y $$\int_0^1\frac{dt}{t}$$ diverge. Cerca de cero $1/\sqrt{\sin t}$ está dentro de una constante múltiples de $1/\sqrt t$ $1/\sin t$ está dentro de una constante múltiples de $1/t$. Desde $\sin(\pi-t)=\sin t$, el comportamiento de estas integrales cerca de $\pi$ es lo mismo que cerca de $0$.

Answer 2

Me gustaría hacer esto con $1-\frac{8}{\pi^2}\frac{(x-\frac{\pi}{2})^2}{2}$.

Tiene los mismos valores en 0, $\frac{\pi}{2}$ y en $\pi$$\sin(x)$, mientras que es un polynom.

He adquirido es simplemente la ampliación de la primera 2 distinto de cero Taylor-componentes de $\cos(x-\frac{pi}{2})$ y escalado a los parámetros requeridos.

Siendo un 2do grado polynom, aún no está desesperado para integrar su receta.