De Gauss, Theorema Egregium de los estados que la curvatura Gaussiana es intrínseco a una superficie, lo que significa que puede ser "medido en el interior de la superficie". Sin embargo no puedo hacer sentido de lo que esto realmente significa. ¿Hay otras cantidades que pueden ser medidos en el interior de una superficie? Hay cantidades que sólo puede ser medido fuera de una superficie?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Todo lo que puede ser expresado en términos de la primera forma fundamental (en una coordenada independiente de la forma) le da una característica intrínseca de la cantidad. Una impresionante propiedad de la curvatura de Gauss es que se define como el determinante de la forma del operador (es decir, con el "exterior" de la geometría) resulta ser expresable sólo como una combinación de los componentes de la primera forma fundamental y sus derivadas parciales (ver el Brioschi fórmula).
Hay muchas cosas que usted puede hacer uso de la primera forma fundamental, por ejemplo, podemos medir longitudes de curvas suaves. Estos ares obviamente intrínseca cantidades.
El polinomio de expresiones que involucran componentes de la primera forma fundamental y todas sus derivadas parciales de orden finito son llamados naturales, si la forma de la expresión no depende de la elección de la (normal) en las coordenadas. Ejemplos son la de Levi-Civita de conexión y el tensor de Riemann (y, por supuesto, la primera forma fundamental en sí mismo, que es también conocida como la métrica intrínseca). Resulta que todos los posibles natural tensores son obtenidos según se expresa covariante derivados de la curvatura de Riemann tensor y sus contracciones. Detalles ver en el papel de D. B. A. Epstein "Natural tensores en la geometría de Riemann", por ejemplo, aquí.
Por otro lado, la segunda forma fundamental (que es un aspecto de la forma del operador) no se puede medir sin una inmersión: se necesita una unidad de campo normal a lo largo de la superficie.
Narasimham
Puntos
7596
Algunas de las cantidades en función de la primera forma fundamental (FFF) son:
Todos los coeficientes de la FFF, sus derivadas parciales de w.r.t. u y v y y cualquier combinación de los mismos. E. g., La curvatura de Gauss $K$, geodésicos curvatura geodésica de torsión, la longitud, el área, la integral de la curvatura, los símbolos de Christoffel,isometría, Levi-Civita de conexión, tangencial de rotación, la rotación normal $\psi$ entre los principales aviones etc. Estas son naturales/intrínsecas de las criaturas de la incrustación.
Todas las superficies en común FFF puede ser doblada o torcida entre ellos. No sólo $K$, pero el de arriba y todos permanecen sin cambios.
Por otro lado, la segunda forma fundamental (SFF) no puede ser medido sin una inmersión ... un campo a lo largo de la normal de la superficie es una necesidad. Curvatura Normal de los cambios en isometría. los coeficientes de L,N y M cambio, pero no de su determinante $(LN-M^2)$.
En la identidad de Euler: $ k_n = k_1 \cos^2 \psi + k_2 \sin^2 \psi $
cabe señalar $\psi$ y el producto de $k_1 k_2=K$ son integrables, pero individualmente $ k_n, k_1 , k_2 $ son criaturas de exteriores de inmersión !
