Límite de una secuencia mediante la desigualdad de Hölder

Question

Dejemos que $a_1,\ldots,a_p$ sean números reales positivos. Hallar el límite de $$\left(\frac{a_1^n+\cdots+a_p^n}{p}\right)^{1/n}$$

Mi intento:

He aplicado la de Hölder y he obtenido que este término está acotado por debajo de $\frac{a_1+\cdots+a_p}{p}$ y como $a_1^p+\cdots+a_n^p \le (a_1+\cdots+a_p)^n$ es válido, aplicando la técnica del logaritmo de los límites, obtengo que está acotado por encima de $a_1+\cdots+a_p$ . Sin embargo, no he obtenido un límite real. De hecho, no sé la respuesta real. Creo que podría ser el límite inferior que obtuve, porque esa respuesta se valida para ciertos ejemplos, como por ejemplo, poniendo todos los valores de $a_i$ como una constante $k$ pero no soy capaz de hacerme una idea adecuada para concluirlo. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Dejemos que $a=\max(a_1, a_2, \dots, a_p)$ . Entonces el límite es $$\lim_{n\to\infty} a\left( \frac{\sum_i (a_i/a)^n}{p}\right)^{1/n}=a$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \left(\frac1p\sum_{i=1}^pa_i^n\right)^{1/n}\le\left(\frac1p\sum_{i=1}^p\max_k(a_k)^n\right)^{1/n}=\max_k(a_k) $$ y $$ \left(\frac1p\sum_{i=1}^pa_i^n\right)^{1/n}\ge\left(\frac1p\max_k(a_k)^n\right)^{1/n}=\left(\frac1p\right)^{1/n}\max_k(a_k) $$ Por lo tanto, $$ \left(\frac1p\right)^{1/n}\max_k(a_k)\le\left(\frac1p\sum_{i=1}^pa_i^n\right)^{1/n}\le\max_k(a_k) $$ Por el Teorema del Apretón, obtenemos $$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac1p\sum_{i=1}^pa_i^n\right)^{1/n}=\max_k(a_k) $$