Intersección de conjuntos

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert, en el que $P,Q$ ser la proyección de los operadores. Deje $S:=\mathcal{R}(P)\cap\mathcal{R}(Q)$ ser la intersección de los rangos, entonces es fácil mostrar el complemento ortogonal $S^{\bot}$ es un subespacio invariante de $PQP$. La pregunta es cómo mostrar $||PQP|_{S^{\bot}}||<1$ si $S^{\bot}$ es finito-dimensional?

Siento haber modificado el problema. Hice error y ha descubierto que si $PQ=QP$, lo que significa que $PQ$ es también la proyección en $H$, $PQP$ se desvanecen, pero en general no lo hace, y debe tener la anterior norma de estimar, pero no estoy seguro de cómo hacerlo de todos modos.

Answer 1

La siguiente clasificación de los pares de las proyecciones es un resultado por Halmos ("Dos subespacios", Trans. AMS, 1969):

Dadas dos proyecciones ortogonales $P,Q$ sobre un espacio de Hilbert $H$ existe una suma ortogonal descomposicion $H=H_{0,0}\oplus H_{1,0}\oplus H_{0,1}\oplus H_{1,1}\oplus K\oplus K$ tener las siguientes propiedades. $H_{i,j}$ son invariantes bajo $P$ $Q,$ restricción de $(P,Q)$ a $H_{i,j}$ $(i\cdot Id,j\cdot Id),$ y $$P|_{K\oplus K}=\begin{pmatrix}I & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ Q|_{K\oplus K}=\begin{pmatrix}B & (B-B^2)^{1/2}\\ (B-B^2)^{1/2} & I-B \end{pmatrix},$$ donde $B$ es un selfadjoint operador en $K$ tal que $0<B<I.$ (Estricta de las desigualdades significa que $0,1$ no son los autovalores de a $B.$)

El espacio de $S$ $H_{1,1}.$ por lo tanto $S^\perp=H_{0,0}\oplus H_{1,0}\oplus H_{0,1}\oplus K\oplus K.$ Operador $PQP$ restringido a $S^\perp$ es igual a $0\oplus 0\oplus 0\oplus B\oplus 0.$ Desde $K$ es finito-dimensional, la estricta desigualdades $0<B<I$ significa que $\varepsilon I<B<(1-\varepsilon)I$ algunos $\varepsilon>0.$ por lo tanto $||PQP|_{S^\perp}||=1-\varepsilon.$