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Convergencia de los conjuntos anidados

Definir ξC1([1,1]×[1,1]) tal que 11ξ(x,y)dy=1 para todos x[1,1] y ξ0 . Poner A0=[0,1] y An+1={xAn:Anξ(x,y)dy=1}.

¿Existen métodos para encontrar la tasa de convergencia de λ(AnAn+1) donde λ ¿es una medida de Lebesgue? ¿Tal vez pueda remitirme a la literatura pertinente?

Hay al menos dos tipos de situaciones:

  1. para algunos N tenemos AN= entonces AN+1=AN y λ(AnAn+1)=0 para nN .

  2. para algunos N tenemos AN=AN+1 y, a continuación, de nuevo λ(AnAn+1)=0 para nN .

¿Me pueden ayudar a construir un ejemplo para el tercer caso, es decir, cuando AnAn+1 para todos n0 (por supuesto, si existe tal ejemplo)? También podemos suponer para este ejemplo que ξLip([1,1]×[1,1]) no necesariamente diferenciable.

Me interesa sobre todo si es posible encontrar un Lipschitz ξ tal que An coinciden con las iteraciones del conjunto Smith-Volterra-Cantor (Fat Cantor Set)?

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JiminyCricket Puntos 143

Elija cualquier función estrictamente creciente g:[1,1][1,1) y definir

ξ(x,y)={0y<g(x),3(yg(x))2(1g(x))3yg(x).

La complicación es sólo para lograr C1 continuidad; básicamente todo lo que necesitamos es una función correctamente normalizada con soporte en yg(x) .

Entonces An=[an,1] con a0=0 y an+1=g1(an) siempre y cuando g1(an)>an y por otra parte an+1=an . Esto convergerá hacia un punto fijo con an=g1(an) para que sea adecuado g y puede hacer que la tasa de convergencia sea la que desee eligiendo g en consecuencia.

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