Definir ξ∈C1([−1,1]×[−1,1]) tal que 1∫−1ξ(x,y)dy=1 para todos x∈[−1,1] y ξ≥0 . Poner A0=[0,1] y An+1={x∈An:∫Anξ(x,y)dy=1}.
¿Existen métodos para encontrar la tasa de convergencia de λ(An∖An+1) donde λ ¿es una medida de Lebesgue? ¿Tal vez pueda remitirme a la literatura pertinente?
Hay al menos dos tipos de situaciones:
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para algunos N tenemos AN=∅ entonces AN+1=AN y λ(An∖An+1)=0 para n≥N .
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para algunos N tenemos AN=AN+1 y, a continuación, de nuevo λ(An∖An+1)=0 para n≥N .
¿Me pueden ayudar a construir un ejemplo para el tercer caso, es decir, cuando An≠An+1 para todos n≥0 (por supuesto, si existe tal ejemplo)? También podemos suponer para este ejemplo que ξ∈Lip([−1,1]×[−1,1]) no necesariamente diferenciable.
Me interesa sobre todo si es posible encontrar un Lipschitz ξ tal que An coinciden con las iteraciones del conjunto Smith-Volterra-Cantor (Fat Cantor Set)?