Convergencia de los conjuntos anidados

Question

Definir $\xi\in C^1([-1,1]\times[-1,1])$ tal que $$ \int\limits_{-1}^1 \xi(x,y)\,dy = 1 $$ para todos $x\in[-1,1]$ y $\xi\geq 0$ . Poner $A_0 = [0,1]$ y $$A_{n+1} = \left\{x\in A_n:\int\limits_{A_n}\xi(x,y)\,dy = 1\right\}.$$

¿Existen métodos para encontrar la tasa de convergencia de $\lambda(A_{n}\setminus A_{n+1})$ donde $\lambda$ ¿es una medida de Lebesgue? ¿Tal vez pueda remitirme a la literatura pertinente?

Hay al menos dos tipos de situaciones:

1. para algunos $N$ tenemos $A_N = \emptyset$ entonces $A_{N+1} = A_N$ y $\lambda(A_n\setminus A_{n+1}) = 0$ para $n\geq N$ .

2. para algunos $N$ tenemos $A_N = A_{N+1}$ y, a continuación, de nuevo $\lambda(A_n\setminus A_{n+1}) = 0$ para $n\geq N$ .

¿Me pueden ayudar a construir un ejemplo para el tercer caso, es decir, cuando $A_n\neq A_{n+1}$ para todos $n\geq0$ (por supuesto, si existe tal ejemplo)? También podemos suponer para este ejemplo que $\xi\in \operatorname{Lip}([-1,1]\times[-1,1])$ no necesariamente diferenciable.

Me interesa sobre todo si es posible encontrar un Lipschitz $\xi$ tal que $A_n$ coinciden con las iteraciones del conjunto Smith-Volterra-Cantor (Fat Cantor Set)?

Answer 1

Elija cualquier función estrictamente creciente $g:[-1,1]\to[-1,1)$ y definir

$$ \xi(x,y)= \begin{cases} 0&y<g(x)\;,\\ 3\frac{(y-g(x))^2}{(1-g(x))^3}&y\ge g(x)\;.\\ \end{cases} $$

La complicación es sólo para lograr $C^1$ continuidad; básicamente todo lo que necesitamos es una función correctamente normalizada con soporte en $y\ge g(x)$ .

Entonces $A_n=[a_n,1]$ con $a_0=0$ y $a_{n+1}=g^{-1}(a_n)$ siempre y cuando $g^{-1}(a_n)>a_n$ y por otra parte $a_{n+1}=a_n$ . Esto convergerá hacia un punto fijo con $a_n=g^{-1}(a_n)$ para que sea adecuado $g$ y puede hacer que la tasa de convergencia sea la que desee eligiendo $g$ en consecuencia.