Definir el conjunto múltiple de cardinalidad $n$, $\chi(\text{n})\triangleq\{ \sum _{j=1}^i \delta _j: \delta _j \geq 0,2 \leq i \leq n \}$.
Por ejemplo tenemos $\chi(2)=\{\delta_1,\delta_1+\delta_2\}$, $\chi(3)=\{\delta_1,\delta_1+\delta_2,\delta_1+\delta_2+\delta_3\}$, etc.
Ahora, con $m <n$, $m \in \mathbb{N}^+$ seleccionamos $p=_nP_m$ permutaciones indexados por $k=1, 2, \ldots, p$ de los subconjuntos de tamaño $m$$\chi(n)$.
Más precisamente, podemos definir el subconjunto $\chi_m(n)= \chi_m(n,l), \ldots \chi_m(n,p)$ de cardinalidad $m$ $\chi(n)$ $\chi_{m}^c(n)$ su complemento tales que (indexación por $l$), $\forall l \leq p$, $$\chi(n)= \chi_m(n,l)\cup \chi_m^c(n,l).$$
Deje $\sigma \in \mathcal{S}_n$ ser cualquier permutación $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$$ \{1, 2, \ldots, n \}$.
Es un resultado estándar (a partir del reordenamiento de la desigualdad) que $$\sum_{i=1}^n i \chi(n)_{(i)}\geq \sum_{i=1}^n \sigma_i \chi(n)_{\sigma_i}.$$
Por lo tanto, la aplicación a nuestro caso podemos sacar aún más las desigualdades entre los subconjuntos:
$$\sum _{k=1}^{n} k (\chi(n))_{(k)}\geq \sum _{j=i}^{m} j \chi_m(n,l)_{(j)}+\sum _{i=1}^{m n} (i+m) \chi_m^c(n,l)_{(i)}
\geq \sum _{j=i}^{m} j \chi_m(n,l)_{(j)} +\sum _{i=1}^{m n} (i) \chi_m^c(n,l)_{(i)}+m\sum _{i=1}^{m n} \chi_m^c(n,l)_{i}$$
el último es un no-ordenó suma.
Calculamos el lado izquierdo de la desigualdad:
$$
I_l(m,n)=\frac{ \sum _{i=1}^{n} i \chi(n,l)_{(i)}}{\sum _{i=1}^{m} \chi_m(n,l)_i+\sum _{i=1}^{n-m} \chi_m^c(n,l)_i}-\frac{ \sum _{i=1}^{m} i \chi_m(n,l)_{(i)}}{\sum _{i=1}^{m} \chi_m(n,l)_i}-\frac{\sum _{i=1}^{n-m} i \chi_m^c(n,l)_{(i)}}{\sum _{i=1}^{n-m} \chi_m^c(n,l)_i}+\frac{1}{2}.
$$
Para $n=2$: $_1P_2=2$, $\chi(2)=\{\delta_1,\delta_1+\delta_2\}$ y los distintos subconjuntos de cardinalidad 1 y sus complementos son:
$$
\left\{\begin{array}{ccc}
\left\{\delta _1\right\} &,& \left\{\delta _1+\delta _2\right\} \\
\left\{\delta _1+\delta _2\right\} &,& \left\{\delta _1\right\} \\
\end{array}\right\}$$
por lo tanto
$$I_1(1,2)=I_2(1,2)= \frac{\delta _2}{4 \delta _1+2 \delta _2}\geq 0$$
(No necesitamos $n=3$ pero lo hacemos para verificación)
Para $n=3$, $_2P_3=3$ , $\chi(3)=\{\delta_1,\delta_1+\delta_2,\delta_1+\delta_2+\delta_3\}$ y los distintos subconjuntos donde la cardinalidad 1 y sus complementos (o, alternativamente, los subconjuntos de cardinalidad 2 y sus complementos)
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
\left\{\delta _1,\delta _1+\delta _2\right\} &,& \left\{\delta _1+\delta _2+\delta _3\right\} \\
\left\{\delta _1,\delta _1+\delta _2+\delta _3\right\} &,& \left\{\delta _1+\delta _2\right\} \\
\left\{\delta _1+\delta _2,\delta _1+\delta _2+\delta _3\right\}&, & \left\{\delta _1\right\} \\
\end{array}
\right\}$$
por lo tanto
$$%\left(
\begin{array}{c}
I_1(2,3)=I_3(1,3)=\frac{\delta _2 \delta _3+\delta _1 \left(\delta _2+4 \delta _3\right)}{2 \left(2 \delta _1+\delta _2\right)
\left(3 \delta _1+2 \delta _2+\delta _3\right)} \geq 0\\
I_2(2,3)= I_2(1,3)=\frac{\left(\delta _1+\delta _3\right) \left(\delta _2+\delta _3\right)}{2 \left(2 \delta _1+\delta _2+\delta
_3\right) \left(3 \delta _1+2 \delta _2+\delta _3\right)} \geq 0\\
I_3(2,3)= I_1(1,3)=\frac{\left(2 \delta _2+\delta _3\right){}^2+\delta _1 \left(4 \delta _2+\delta _3\right)}{2 \left(2
\delta _1+2 \delta _2+\delta _3\right) \left(3 \delta _1+2 \delta _2+\delta _3\right)}\geq 0\\
\end{array}
%\right)
$$
Vamos a ver cómo es cuando se sostiene por $n$ es necesariamente tiene por $n+1$.
Sigo con la siguiente simplificación de la notación:
$$I=\frac{S_s}{S_1+S_2}-\frac{Ss_1}{S_1}-\frac{S_{s2}}{S_2}+\frac{1}{2}$$
para $n+1$
$$I'=\frac{S_s'}{S_1+S_2'}-\frac{Ss_1}{S_1}-\frac{S_{s2'}}{S_2'}+\frac{1}{2}$$
$Ss' = Ss+ n(S_s +\delta_{n+1})$
$S_2'=2 S_2+\delta_{n+1}$
$S_{s2} = S_{s2}+ (n-m) (S_{s2}+\delta_{n+1})$.
Reexpressing $I'$:
$$I'=\frac{(n+1) \delta _{n+1}+(n+2) S_s}{S_1+2 S_2+\delta _{n+1}}-\frac{S_{\text{s1}}}{S_1}-\frac{(n-m+1) \left(\delta _{n+1}+S_{\text{s2}}\right)+S_{\text{s2}}}{\delta _{n+1}+2 S_2}+\frac{1}{2}$$
De la desigualdad derivada de la anterior, se ha $S_s \geq S_1 +S_2+ m S_2$; también tenemos $\delta_{n+1}\geq 0$, así como de los enteros $m>1$$n>m$ . La normalización de con $S_2=1$ y a partir de estas desigualdades:
$I'\geq I''$, con
$$I''=I'\text{/.}\, \left\{S_2\to 1,S_{\text{s2}}\to 1,S_{\text{s1}}\to S_1,S_s\to m+S_1+1\right\}$$
Haciendo $I''$ una sola función racional (un único denominador de la cual es positivo), y tomando el numerador yo"' ($sgn(I''')=sgn(I'')$):
$$ I"'=\left(10 m \delta _{n+1}-4 \delta _{n+1}\right)+\left(2 m \delta _{n+1}^2-\delta _{n+1}^2\right)+(4 m n-4)
+\delta _{n+1} \left(2 m n+(2 m+1) S_1\right)+2 S_1 (m+n+1)+12 m$$
tenemos $I'''\geq 0$, lo cual termina la prueba.
