La desigualdad relativa sumas de ordenada variables

Question

Con $Y=(Y_1,\ldots,Y_{n_y})$, $n_y \geq 2$, y $Z=(Z_1,\ldots,Z_{n_z})$, $n_z \geq 2$, escrito $Y_{(1)},Y_{(2)},..., Y_{(n_y)}$ los valores ordenados de $Y$: $Y_{(1)} < Y_{(2)} < ... < Y_{(n)}$ (y lo mismo para $Z_{(i)}$), suponiendo que sólo valores positivos para $Y$$Z$, y el establecimiento de la fusión de vector (concatenados) $(Y^\frown Z)=(Y_1,\ldots,Y_{n_y},Z_1,\ldots,Z_{n_z})$, tratando de demostrar la siguiente desigualdad:

$$\frac{ \sum _{i=1}^{n_y+n_z} i (Y^\frown Z)_{(i)}}{\sum _{i=1}^{n_y} Y_i+\sum _{i=1}^{n_z} Z_i}-\frac{ \sum _{i=1}^{n_y} i Y_{(i)}}{\sum _{i=1}^{n_y} Y_i}-\frac{\sum _{i=1}^{n_z} i Z_{(i)}}{\sum _{i=1}^{n_z} Z_i}+\frac{1}{2}\geq 0$$

$\textbf{Approach: }$ Mediante el reordenamiento de la desigualdad (permutación de grupo), podemos derivar $$\sum _{k=1}^{n_z+n_y} k (Y^\frown Z)_{(k)}\geq \sum _{j=i}^{n_y} (j+n_z) Y_{(j)}+\sum _{i=1}^{n_z} i Z_{(i)}=n_z \sum _{j=i}^{n_y} Y_{j}+\sum _{j=i}^{n_y} j Y_{(j)}+\sum _{i=1}^{n_z} i Z_{(i)}$$ $$\sum _{k=1}^{n_z+n_y} k (Y^\frown Z)_{(k)}\geq \sum _{i=1}^{n_y} \text{iY}_{(i)}+\sum _{j=i}^{n_z} (j+n_y) Z_{(j)}=n_y \sum _{i=i}^{n_z} Z_i+\sum _{j=i}^{n_y} j Y_{(j)}+\sum _{i=1}^{n_z} i Z_{(i)}$$

Me pregunto si esta ruta conduce a ninguna parte.

Answer 1

Podemos mostrar esta el uso de la inducción.

Paso 1 (caso base)- La desigualdad es correcto para $n_y=n_z=1$. Sin pérdida de generalidad, supongamos $Z\geq Y$. En este caso, $S_{s}=Y+2Z$, $S_{s1}=S_1=Y$, $S_{s2}=S_2=Z$. Por lo tanto, el lado izquierdo de la desigualdad se convierte en $$LHS=\frac{Y+2Z}{Y+Z}-\frac{Y}{Y}-\frac{Z}{Z}+\frac{1}{2}=\frac{Z}{Y+Z}-\frac{1}{2}\geq 0.$$

Step 2 (paso inductivo)- Suponiendo que la desigualdad es correcta para cualquier vectores y y Z de longitud $n_y=k_y$$n_z=k_z$, implica que para $n_y=k_y+1$$n_z=k_z$, la desigualdad es correcta.

La prueba del paso 2:

Definir $Y'$ de la longitud de la $k_y$ tal que $Y'_{(k_y)}$=$Y_{(k_y)}+\frac{k_y+1}{k_y}Y_{(k_y+1)}$ y el resto de las entradas son los mismos que $Y$. Nota esta definición, obtenemos: $$S'_1=S_1+\frac{1}{k_y}Y_{(k_y+1)}\geq S_1,\\ S'_{s1}=\sum_{i=1}^{k_y}iY'_{(i)}=k_y(Y_{(k_y)}+\frac{k_y+1}{k_y}Y_{(k_y+1)})+\sum_{i=1}^{k_y-1}iY_{(i)}=\sum_{i=1}^{k_y+1}iY_{(i)}=S_{s1},\\ S'_s\leq S_s.$$

Según nuestra hipótesis para los vectores de longitud $n_y=k_y$ $n_z=k_z$ $Y'$ $Z$ hemos $$\frac{S'_s}{S'_1+S_2}-\frac{S'_{s1}}{S'_1}-\frac{S_{s2}}{S_2}+\frac{1}{2} \geq 0.$$

Desde $S'_1\geq S_1$, $S'_{s1}=S_{s1}$, y $S'_s\leq S_s$, tenemos $$0\leq\frac{S'_s}{S'_1+S_2}-\frac{S'_{s1}}{S'_1}-\frac{S_{s2}}{S_2}+\frac{1}{2}\\ =\frac{S'_s}{S'_1+S_2}-\frac{S_{s1}}{S'_1}-\frac{S_{s2}}{S_2}+\frac{1}{2}\\ \leq\frac{S'_s}{S_1+S_2}-\frac{S_{s1}}{S_1}-\frac{S_{s2}}{S_2}+\frac{1}{2}\\ \leq\frac{S_s}{S_1+S_2}-\frac{S_{s1}}{S_1}-\frac{S_{s2}}{S_2}+\frac{1}{2}.$$ El mismo procedimiento puede ser repetido para $Z$ vector. Por lo tanto, la inducción, la desigualdad está probado.

Answer 2

Definir el conjunto múltiple de cardinalidad $n$, $\chi(\text{n})\triangleq\{ \sum _{j=1}^i \delta _j: \delta _j \geq 0,2 \leq i \leq n \}$.

Por ejemplo tenemos $\chi(2)=\{\delta_1,\delta_1+\delta_2\}$, $\chi(3)=\{\delta_1,\delta_1+\delta_2,\delta_1+\delta_2+\delta_3\}$, etc.

Ahora, con $m <n$, $m \in \mathbb{N}^+$ seleccionamos $p=_nP_m$ permutaciones indexados por $k=1, 2, \ldots, p$ de los subconjuntos de tamaño $m$$\chi(n)$.

Más precisamente, podemos definir el subconjunto $\chi_m(n)= \chi_m(n,l), \ldots \chi_m(n,p)$ de cardinalidad $m$ $\chi(n)$ $\chi_{m}^c(n)$ su complemento tales que (indexación por $l$), $\forall l \leq p$, $$\chi(n)= \chi_m(n,l)\cup \chi_m^c(n,l).$$

Deje $\sigma \in \mathcal{S}_n$ ser cualquier permutación $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$$\{1, 2, \ldots, n \}$.

Es un resultado estándar (a partir del reordenamiento de la desigualdad) que $$\sum_{i=1}^n i \chi(n)_{(i)}\geq \sum_{i=1}^n \sigma_i \chi(n)_{\sigma_i}.$$

Por lo tanto, la aplicación a nuestro caso podemos sacar aún más las desigualdades entre los subconjuntos:

$$\sum _{k=1}^{n} k (\chi(n))_{(k)}\geq \sum _{j=i}^{m} j \chi_m(n,l)_{(j)}+\sum _{i=1}^{m n} (i+m) \chi_m^c(n,l)_{(i)} \geq \sum _{j=i}^{m} j \chi_m(n,l)_{(j)} +\sum _{i=1}^{m n} (i) \chi_m^c(n,l)_{(i)}+m\sum _{i=1}^{m n} \chi_m^c(n,l)_{i}$$ el último es un no-ordenó suma.

Calculamos el lado izquierdo de la desigualdad: $$I_l(m,n)=\frac{ \sum _{i=1}^{n} i \chi(n,l)_{(i)}}{\sum _{i=1}^{m} \chi_m(n,l)_i+\sum _{i=1}^{n-m} \chi_m^c(n,l)_i}-\frac{ \sum _{i=1}^{m} i \chi_m(n,l)_{(i)}}{\sum _{i=1}^{m} \chi_m(n,l)_i}-\frac{\sum _{i=1}^{n-m} i \chi_m^c(n,l)_{(i)}}{\sum _{i=1}^{n-m} \chi_m^c(n,l)_i}+\frac{1}{2}.$$

Para $n=2$: $_1P_2=2$, $\chi(2)=\{\delta_1,\delta_1+\delta_2\}$ y los distintos subconjuntos de cardinalidad 1 y sus complementos son: $$\left\{\begin{array}{ccc} \left\{\delta _1\right\} &,& \left\{\delta _1+\delta _2\right\} \\ \left\{\delta _1+\delta _2\right\} &,& \left\{\delta _1\right\} \\ \end{array}\right\}$$ por lo tanto $$I_1(1,2)=I_2(1,2)= \frac{\delta _2}{4 \delta _1+2 \delta _2}\geq 0$$

(No necesitamos $n=3$ pero lo hacemos para verificación) Para $n=3$, $_2P_3=3$ , $\chi(3)=\{\delta_1,\delta_1+\delta_2,\delta_1+\delta_2+\delta_3\}$ y los distintos subconjuntos donde la cardinalidad 1 y sus complementos (o, alternativamente, los subconjuntos de cardinalidad 2 y sus complementos)

$$\left\{ \begin{array}{ccc} \left\{\delta _1,\delta _1+\delta _2\right\} &,& \left\{\delta _1+\delta _2+\delta _3\right\} \\ \left\{\delta _1,\delta _1+\delta _2+\delta _3\right\} &,& \left\{\delta _1+\delta _2\right\} \\ \left\{\delta _1+\delta _2,\delta _1+\delta _2+\delta _3\right\}&, & \left\{\delta _1\right\} \\ \end{array} \right\}$$ por lo tanto

$$%\left( \begin{array}{c} I_1(2,3)=I_3(1,3)=\frac{\delta _2 \delta _3+\delta _1 \left(\delta _2+4 \delta _3\right)}{2 \left(2 \delta _1+\delta _2\right) \left(3 \delta _1+2 \delta _2+\delta _3\right)} \geq 0\\ I_2(2,3)= I_2(1,3)=\frac{\left(\delta _1+\delta _3\right) \left(\delta _2+\delta _3\right)}{2 \left(2 \delta _1+\delta _2+\delta _3\right) \left(3 \delta _1+2 \delta _2+\delta _3\right)} \geq 0\\ I_3(2,3)= I_1(1,3)=\frac{\left(2 \delta _2+\delta _3\right){}^2+\delta _1 \left(4 \delta _2+\delta _3\right)}{2 \left(2 \delta _1+2 \delta _2+\delta _3\right) \left(3 \delta _1+2 \delta _2+\delta _3\right)}\geq 0\\ \end{array} %\right)$$ Vamos a ver cómo es cuando se sostiene por $n$ es necesariamente tiene por $n+1$. Sigo con la siguiente simplificación de la notación: $$I=\frac{S_s}{S_1+S_2}-\frac{Ss_1}{S_1}-\frac{S_{s2}}{S_2}+\frac{1}{2}$$

para $n+1$

$$I'=\frac{S_s'}{S_1+S_2'}-\frac{Ss_1}{S_1}-\frac{S_{s2'}}{S_2'}+\frac{1}{2}$$

$Ss' = Ss+ n(S_s +\delta_{n+1})$

$S_2'=2 S_2+\delta_{n+1}$

$S_{s2} = S_{s2}+ (n-m) (S_{s2}+\delta_{n+1})$.

Reexpressing $I'$:

$$I'=\frac{(n+1) \delta _{n+1}+(n+2) S_s}{S_1+2 S_2+\delta _{n+1}}-\frac{S_{\text{s1}}}{S_1}-\frac{(n-m+1) \left(\delta _{n+1}+S_{\text{s2}}\right)+S_{\text{s2}}}{\delta _{n+1}+2 S_2}+\frac{1}{2}$$ De la desigualdad derivada de la anterior, se ha $S_s \geq S_1 +S_2+ m S_2$; también tenemos $\delta_{n+1}\geq 0$, así como de los enteros $m>1$$n>m$ . La normalización de con $S_2=1$ y a partir de estas desigualdades: $I'\geq I''$, con $$I''=I'\text{/.}\, \left\{S_2\to 1,S_{\text{s2}}\to 1,S_{\text{s1}}\to S_1,S_s\to m+S_1+1\right\}$$

Haciendo $I''$ una sola función racional (un único denominador de la cual es positivo), y tomando el numerador yo"' ($sgn(I''')=sgn(I'')$): $$I"'=\left(10 m \delta _{n+1}-4 \delta _{n+1}\right)+\left(2 m \delta _{n+1}^2-\delta _{n+1}^2\right)+(4 m n-4) +\delta _{n+1} \left(2 m n+(2 m+1) S_1\right)+2 S_1 (m+n+1)+12 m$$ tenemos $I'''\geq 0$, lo cual termina la prueba.