Desde que mi respuesta anterior ha conseguido 2 downvotes, y los comentarios explican bastante más de lo que la gente encuentra objetable acerca de mi presentación, he reescrito, con suerte para presentar mis ideas de una forma más aceptable de la moda. Me han separado de mi respuesta en dos secciones; una para un real enfoque de análisis, y otro para un análisis complejo de enfoque.
Análisis Real
Al$y\gt3$,$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\log(y-3)=\frac1{y-3}$. Por lo tanto, para $y\gt3$, tenemos
$$
\int\frac{\mathrm{d}y}{y-3}=\log(y-3)+C\etiqueta{1}
$$
Al$y\lt3$,$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\log(3-y)=\frac1{y-3}$. Por lo tanto, para $y\lt3$, tenemos
$$
\int\frac{\mathrm{d}y}{y-3}=\log(3-y)+C\etiqueta{2}
$$
Para mayor comodidad, se puede combinar $(1)$ $(2)$ en
$$
\int\frac{\mathrm{d}y}{y-3}=\log|y-3|+C\etiqueta{3}
$$
Sin embargo, $(3)$ deben ser manejados con un poco de cuidado: no se puede aplicar a una integral definida, con límites en ambos lados de $3$. Por ejemplo,
$$
\int_2^4\frac{\mathrm{d}y}{y-3}\etiqueta{4}
$$
no convergen. Esto es debido a que ni
$$
\int_2^3\frac{\mathrm{d}y}{y-3}\qquad\text{ni}\qquad\int_3^4\frac{\mathrm{d}y}{y-3}\etiqueta{5}
$$
convergen. Sin embargo, $(4)$ tiene un Valor Principal de Cauchy de $0$.
Análisis Complejo
Como una función en $\mathbb{C}$, $\log|y-3|$ no es diferenciable. Por lo tanto, mientras que $(1)$ $(2)$ todavía se mantienen, por desgracia, $(3)$, la conveniencia formulario para las rutas en $\mathbb{R}\!\setminus\!\{3\}$, no.
Cuando se limita a $\mathbb{R}$, cualquier camino de $2$ $4$debe pasar a través de $3$ y nos encontramos con los problemas presentados en $(4)$$(5)$. Sin embargo, en $\mathbb{C}$, hay muchos caminos de $2$ $4$que no pasan a través de $3$. Por ejemplo, el camino de $\gamma_1:[0,1]\to\mathbb{C}$$\gamma_1(t)=3-e^{\pi it}$:
$\hspace{5cm}$![enter image description here]()
Si integramos a lo largo de $\gamma_1$, obtenemos
$$
\begin{align}
\int_{\gamma_1}\frac{\mathrm{d}y}{y-3}
&=\int_0^1\frac{-\pi i\,e^{\pi it}\,\mathrm{d}t}{-e^{\pi it}}\\
&=\pi i\tag{6}
\end{align}
$$
Por Cauchy de la Integral Teorema, cualquier camino de $2$ $4$que no pase más de $3$ le dará el valor de $\pi i$.
Sin embargo, también contamos con el camino de $\gamma_2:[0,1]\to\mathbb{C}$$\gamma_2(t)=3-e^{-\pi it}$:
$\hspace{5cm}$![enter image description here]()
Si integramos a lo largo de $\gamma_2$, obtenemos
$$
\begin{align}
\int_{\gamma_2}\frac{\mathrm{d}y}{y-3}
&=\int_0^1\frac{\pi i\,e^{-\pi it}\,\mathrm{d}t}{-e^{-\pi it}}\\
&=-\pi i\tag{7}
\end{align}
$$
Por Cauchy de la Integral Teorema, cualquier camino de $2$ $4$que no pase en $3$ da el valor de $-\pi i$.
De hecho, la integral de $\frac1{y-3}$ a lo largo de cualquier trayectoria entre dos puntos, $a$$b$, difieren en un múltiplo entero de $2\pi i$ a partir de la integral a lo largo de cualquier otro camino entre el$a$$b$. Esto es debido a los residuos de $\frac1{y-3}$$y=3$. Para tener una bien definida anti-derivado de la $\frac1{y-3}$, necesitamos hacer una rama de corte que impide un camino de vueltas $3$.
Por ejemplo, si hacemos la rama de corte a lo largo de $3+i[0,\infty)$, nos permitir $\gamma_1$. En este caso, para $y\in\mathbb{R}$,
$$
\log(3-y)-\log(y-3)=\left\{\begin{array}{}
-\pi i&\text{if }y\gt3\\
+\pi i&\text{if }y\lt3
\end{array}\right.\la etiqueta{8}
$$
y los dos anti-derivados difieren por una constante (que puede ser incorporado en la constante de integración).
Sin embargo, si hacemos la rama de corte a lo largo de $3-i[0,\infty)$, nos permitir $\gamma_2$. En este caso, para $y\in\mathbb{R}$,
$$
\log(3-y)-\log(y-3)=\left\{\begin{array}{}
+\pi i&\text{if }y\gt3\\
-\pi i&\text{if }y\lt3
\end{array}\right.\la etiqueta{9}
$$
y los dos anti-derivados difieren por una constante (que puede ser incorporado en la constante de integración).
Con una rama de corte, de Cauchy de la integral teorema garantiza $\int\frac{\mathrm{d}y}{y-3}$ puede ser bien definida en el resto de $\mathbb{C}$.
