Matrices de proyección

Question

He encontrado estos dos aparentemente contradictorias observaciones acerca de las matrices de proyección:

1) Una matriz de $P$ es idempotente si $PP = P$. Una matriz idempotente que es también Hermitian se llama una matriz de proyección.

2) $P$ es un proyector si $PP = P$. Proyectores siempre son positivos, lo que implica que siempre están Hermitian.

Cual de los dos es la correcta? Es una matriz de $P$ que verifica $PP=P$ siempre Hermitian?

Answer 1

Deje $A:=\pmatrix{1&1\\0&0}$. Tenemos $$A\cdot A=\pmatrix{1&1\\0&0}\cdot\pmatrix{1&1\\0&0}=\pmatrix{1&1\\0&0}=A,$$ pero $A$ no es hermitian.

Answer 2

El hecho de que una matriz de proyección es Hermitian o no depende de su definición de las matrices de proyección. Por lo general, si $P$ satisface $PP = P$, $P$ es idempotente, y se llama una matriz de proyección, independientemente de su Hermitian o no. Si $P$ es también Hermitian, entonces se llama proyección ortogonal, de lo contrario, la proyección oblicua. Pero algunos autores sólo definir Hermitian matriz idempotente (proyección ortogonal) como la proyección. Ven aquí para encontrar más.

Answer 3

Una familia de ejemplos de matrices que son idempotente y unsymmetric está dada por la $n\times n$ matrices $\frac12(\mathbf I+\mathbf H\mathbf D)$ $\frac12(\mathbf I-\mathbf H\mathbf D)$ donde $\mathbf H$ $n\times n$ matriz de Hilbert, y $\mathbf D=\mathrm{diag}\left(\left.(-1)^j j \binom{n+j-1}{j-1} \binom{n}{j}\right|_{j=1,\dots,n}\right)$

Vea cabeza de Familia y Carpintero para obtener más detalles.