¿Existe alguna razón intuitiva para que el grupo Cuaternión y el grupo Diédrico sobre cuatro vértices tengan la misma tabla de caracteres? ¿Indica esto algo especial sobre los dos grupos? ¿O es más bien una coincidencia que las tablas sean iguales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que $G$ es un grupo no abeliano de orden $8$ . Si sus irreps. son de dimensiones $n_i$ entonces a partir de la fórmula $\sum n_i^2 = 8$ (y recordando que tenemos al menos un $n_i = 1$ ya que existe la representación trivial, pero no todas $n_i =1$ ya que $G$ es no abeliano), encontramos que el $n_i$ son iguales a $1,1,1,1,2$ .
La abelianización de $G$ es necesariamente el Klein $4$ -(ya que si la abelianización de $G$ fueran cíclicos, entonces $G$ sería generado por $[G,G]$ --- u orden $2$ y normal --- y una elevación del generador de $G/[G,G]$ y, por tanto ser abeliano, contradiciendo la suposición de que es no abeliano).
Esto ya obliga a tener bastante información sobre el $4$ personajes unidimensionales.
Desde $G$ tiene un único $2$ -es isomorfa a su torsión por cualquiera de los caracteres unidimensionales. Esto obliga a obtener más información sobre la tabla de caracteres.
De hecho, si mis cálculos son correctos, esto determina por completo la tabla de caracteres.
Así, esencialmente, para un grupo no abeliano de orden $8$ las restricciones son demasiado estrictas para que haya más de una tabla de caracteres posible.
