¿La ecuación funcional $f(1/r) = rf(r)$ tienen alguna solución no trivial además de $f(r) = 1/\sqrt{r}$ ?

Question

Repitiendo por el bien de la representación de TeX:

¿La ecuación funcional $f(1/r) = rf(r)$ tienen alguna solución no trivial además de $f(r) = 1/\sqrt{r}$ ?

Answer 1

Hay un gran número de soluciones. Dejemos que $g$ sea cualquier función de $(-1,1]$ a $\mathbb{R}$ . Definir una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por $f(x)=g(x)$ si $x \in (-1,1]$ , $f(-1)=0$ y $f(x)=(1/x)g(1/x)$ de lo contrario. Entonces $f$ satisface su ecuación.

Answer 2

Sí. Si quieres otra función definida en $\mathbb{R}^+$ : Suponga que tiene una función $g$ que es invariable bajo inversión $g(1/z)=g(z)$ , entonces $f(z)\cdot g(z)$ es una nueva función que satisface su ecuación funcional. (f es tu función $z\mapsto 1/\sqrt{z}$ ) Para $g$ puede, por ejemplo, tomar $z\mapsto ln(z)^2$ .

EDIT: Sólo quería añadir una "solución completa" a este problema. Supongamos que usted tiene una función f en $\mathbb{R}^+$ que satisface su ecuación funcional: Definir $g(r) = \frac{1}{2}\sqrt{r}f(r)$ que es invariante bajo inversión y tenemos $f(r)=\frac{2}{\sqrt{r}}\cdot g(r)=\frac{1}{\sqrt{r}}\cdot(g(r)+g(\frac{1}{r}))$ .

A la inversa, para cualquier función g sobre $\mathbb{R}^+$ tenemos que $f=\frac{1}{\sqrt{r}}\cdot(g(r)+g(\frac{1}{r}))$ satisface su ecuación funcional.

Así que el conjunto de soluciones de su ecuación es $\{\frac{1}{\sqrt{r}}\cdot(g(r)+g(\frac{1}{r}))\}$ donde g recorre todas las funciones en $\mathbb{R}^+$ .

Answer 3

La función theta de Jacobi, que está íntimamente relacionada con la función zeta de Riemann, es una solución muy famosa de su ecuación funcional.

La ecuación funcional está relacionada con las propiedades de simetría de la transformada de Mellin:

Para $x>0,$ dada la transformada de Mellin para $0<real(s)<1$

$$\hat{f}(s)=\int_{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx,$$ entonces

$$ f(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} \hat{f}(s) x^{-s}ds$$

para $0 < \sigma <1$ y

$$f(x)=\frac{1}{x}f(\frac{1}{x})\text{ iff } \hat{f}(s)=\hat{f}(1-s).$$

(Dos cambios de variables lo demuestran: $x$ a $1/x$ y $s$ a $1-s$ .)

Riemann's $\xi(s)$ función satisface, para $0<real(s)<1$ ,

$$\xi(s)=\xi(1-s) = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\int_{0}^{\infty }[\vartheta (0;ix^2)-(1+\frac{1}{x})]x^{s-1}\,dx.$$

donde $\vartheta (z;\tau)$ es La función theta de Jacobi .

Por el teorema de la transformada de Mellin entonces

$$\psi(x)=\vartheta (0;ix^2)-(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}\psi(\frac{1}{x})$$

y como $$g(x)=1+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}g(\frac{1}{x}),$$ entonces

$$\vartheta (0;ix^2)=\frac{1}{x}\vartheta (0;\frac{i}{x^{2}}).$$

Nota: Como expresión de la serie

$$\psi(x)=\frac{-1}{x}+2\sum_{n=1}^{\infty}exp(-\pi n^{2}x^2),$$

y para $0<real(s)<1$

$$\xi(s)=\lim_{L\to +\infty, a\to 0^+}\frac{L^{s-1}}{s-1}+\frac{-a^{s}}{s}+\int_{a}^{L }[\vartheta (0;ix^2)-(1+\frac{1}{x})]x^{s-1}\,dx.$$

Añadido el 4 de octubre de 2019:

A partir de los argumentos anteriores, cualquier función $\hat{f}(s)$ que construimos que es simétrico a través de la línea $ Re(s) = 1/2$ tiene la simetría $ \hat{f}(1-s)=\hat{f}(s)$ y su transformada inversa de Mellin si existe para $0 < \sigma< 1$ nos dará una función tal que $ f(x) = \frac{1}{x}f(\frac{1}{x})$ .

Por ejemplo:

1) $\hat{f}(s) = \frac{1}{s} + \frac{1}{1-s}$ y $f(x)= H(1-x) 1+H(x-1)\frac{1}{x}$ para $\sigma = 1/2$ para nuestra línea de integración, donde $H(x)$ es la función escalonada de Heaviside. Nota: $1+ \frac{1}{x}$ también es una solución pero no tiene transformada de Mellin.

2) $\hat{f}(s) = (s-1)! + (-s)!$ y $f(x)= e^{-x} + \frac{1}{x}e^{-\frac{1}{x}}$ .

3) y una de las "funciones" más importantes, la función delta de Dirac, tiene esta propiedad

$ \delta(x-1)= \frac{1}{x}\delta[\tfrac{1}{x}-1]$

con

$\widehat{\delta}(s) = 1 = \widehat{\delta}(1-s)$ .

Claramente, el patrón

$$f(x)= w(x) + \frac{1}{x}w(\frac{1}{x})$$

satisface la relación funcional básica para cualquier función $w(x)$ y también satisface la relación del espacio de Mellin si $w(x)$ es transformable en la franja $0 < Re(s) <1$