Parte de la confusión en la definición de la traza de un grupo de homomorphism. Una vez hecho esto, la prueba no es demasiado difícil, ya que, a partir de los comentarios en la pregunta acerca de cómo probar esto en la configuración de espacios vectoriales, es fácil ver cómo la prueba podría seguir para finitely generado abelian grupos.
En general, vamos a $A$ ser un finitely generado abelian grupo y $\varphi : A \rightarrow A$ un grupo homomorphism. Por el teorema fundamental de finitely generado abelian grupos, $A = \mathbb{Z}^n \oplus T$ donde $T$ es la torsión de los subgrupos de $A$. Tomando el cociente con respecto a $T$, llegamos a la inducida por homomorphism $\overline{\varphi} : A/T \rightarrow A/T$ que es un homomorphism de $\mathbb{Z}^n$ a sí mismo. Por lo tanto, $\overline{\varphi}$ tiene una representación de la matriz desde $\mathbb{Z}^n$ es un anillo, y por lo tanto podemos definir a $\text{tr}(\varphi) := \text{tr}(\overline{\varphi})$, el rastro de la inducida por homomorphism después de modding por torsión.
El número de Lefschetz para un mapa de $f : X \rightarrow X$ a partir de un número finito de CW complejo en sí es definida como"$\tau(f) = \sum_n (-1)^n \text{tr}(f_*:H_n(X) \rightarrow H_n(X))$, donde el seguimiento se define como el anterior para el grupo de homomorphisms arbitraria finitely generado abelian grupos.
La prueba de que $\text{tr}(f_*r_*) = \text{tr}(f_*)$:
Desde $H_n(K) = H_n(X) \oplus H_n(K, X)$, la libre abelian partes y la torsión de los subgrupos también descomponer en una suma directa, y por tanto si $\mathbb{Z}^m$ es la torsión de la parte libre de $H_n(K)$, luego de la torsión, libre de partes de $H_n(X)$ $H_n(K, X)$ $\mathbb{Z}^{m'}$ $\mathbb{Z}^{m''}$ donde $m = m' + m''$. Por lo tanto $\text{tr}(f_*)$ es la traza de la matriz $\overline{f_*} : \mathbb{Z}^{m'} \rightarrow \mathbb{Z}^{m'}$ inducida por quotienting fuera de torsión.
Podemos elegir una base para la torsión de la parte libre de $H_n(K)$ que juega bien con la suma directa de descomposición por el primer elegir una base para la torsión de la parte libre del subgrupo $H_n(X)$ y la adición de una base para la torsión de la parte libre del subgrupo $H_n(K, X)$. El uso de esta base definimos las matrices $M^r$$\overline{r_*} : \mathbb{Z}^{m} \rightarrow \mathbb{Z}^{m'}$$M^f$$\overline{f_*} : \mathbb{Z}^{m'} \rightarrow \mathbb{Z}^{m'}$. El $m' \times m$ matriz de $\overline{f_*}\overline{r_*} : \mathbb{Z}^m \rightarrow \mathbb{Z}^{m'}$ puede ser extendida a una matriz cuadrada por la composición con la $m \times m'$ matriz para la inclusión del mapa de $M^i = [I_{m'} \hspace{0.05in} 0]^T$. Así, a partir de la matriz de $\overline{r_*}$ está dado por $[I_{m'} \hspace{0.05in} 0]$, tenemos
$$M^iM^fM^r = \begin{pmatrix}I_{m'}\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}M^f\end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{m'} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I_{m'} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}M^f & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_{m'} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}M^f & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},$$
y por lo $\text{tr}(f_*r_*) = \text{tr}(f_*)$.
