Dimensión en matemáticas y física

Question

He estudiado álgebra lineal y álgebra conmutativa, hay dos tipos de dimensión allí: la dimensión del espacio vectorial y la dimensión de Krull.

Además, en física, la dimensión también es un concepto muy intuitivo.

Mi pregunta es: ¿Cuál es la definición matemática más cercana a la física?

En la página de Wikipedia, también enumeran algunos tipos matemáticos de dimensión: Dimensión

Answer 1

Las respuestas y comentarios hasta ahora indican que estamos hablando de dos tipos completamente diferentes de "dimensión" aquí:

1. Está la noción de dimensión de un espacio vectorial real $V$ o una variedad $M$. Este es un entero $d\geq0$ y tiene el mismo significado en física como en matemáticas. La interpretación física intuitiva de $d$ es el "número de grados de libertad" en el sistema físico en estudio. - En un espacio de dimensión $d$ los volúmenes (infinitesimales) escalan como $\lambda^d$ bajo un escalamiento lineal por un factor $\lambda>0$. Esta propiedad puede ser utilizada para visualizar conjuntos $S\subset{\mathbb R}^d$ cuyo "volumen" escala como $\lambda^\alpha$ con un $\alpha$ no entero $\leq d$. Este valor $\alpha$ es llamado la dimensión de Hausdorff de $S; pero esta es una dimensión en un sentido teórico de medida, no en un sentido topológico.

2. Las cantidades físicas tienen una "dimensión" de longitud, tiempo, grados Kelvin, etc. Esta dimensión no es un número, sino una calidad. Es tarea de un miembro de la comunidad de física dar una definición exacta. Tentativamente diría que (al menos en el ámbito de la mecánica) el conjunto de dimensiones físicas es el grupo abeliano multiplicativo generado por los tres elementos $L$ (para longitud), $T$ (para tiempo) y $M$ (para masa). A cualquier cantidad física se le asocia un elemento de este grupo. Dos cantidades físicas pueden ser comparadas o sumadas de manera significativa solo si las dimensiones asociadas son las mismas. Además, la dimensión de una cantidad determina cómo cambia el valor numérico de esta cantidad cuando se cambian las unidades base para $L$, $T$ y $M$.

Answer 2

La noción relevante de dimensión para la física según lo entiendo es la dimensión de una variedad (por ejemplo, un variedad lorentziana (3+1)-dimensional). Si la variedad es suave (que es, según entiendo, el caso en física) entonces la dimensión de una variedad se corresponde con la dimensión de sus espacios tangentes, por lo que moralmente es la noción algebraica lineal la que es relevante aquí.

(Por supuesto, en casos agradables la dimensión de Krull también debería ser igual a la dimensión de espacios tangentes Zariski. Pero hasta donde sé, el universo no se modela de manera rentable como una variedad algebraica).

Answer 3

Creo que la forma adecuada de sentir sobre la dimensión es el análogo de grado de libertad. Un sistema físico con $N$ grados de libertad usualmente puede ser descrito en el espacio de fase por una trayectoria $N$ dimensional. Los sistemas físicos diferenciales pueden ser descritos por diferentes sistemas de ecuaciones, pero siempre podemos 'contar' el grado de libertad en cierto sentido, incluso si en algunas ocasiones es infinito.