Pregunta de convergencia de la serie del bebé Rudin.

Question

Supongamos, $a_n>0$ , $s_n=a_1+\cdots +a_n$ y $\sum a_n$ diverge. Demostrar que $$\frac{a_{N+1}}{s_{N+1}}+\cdots\frac{a_{N+k}}{s_{N+k}}\ge 1-\frac{s_N}{s_{N+k}}$$ y deducimos que $\sum\frac{a_n}{s_n}$ diverge.

Buscando una verificación de mi prueba.

$$\begin{align} \sum_{m=1}^k\frac{a_{N+m}}{s_{N+m}} &\ge\frac{1}{s_{N+k}}\sum_{m=1}^ka_{N+m}\\ & ={s_{N+k}-s_N\over s_{N+k}}\\ & = 1-\frac{s_N}{s_{N+k}}. \end{align}$$

Dejemos que $0<\epsilon<1$ . Desde, $\lim_{k\to\infty}1-\frac{s_N}{s_{N+k}}=1$ , hay un $K\ge 1$ , de tal manera que $k\ge K\implies 1-\left(1-\frac{s_N}{s_{N+k}}\right)<\epsilon$ es decir $\frac{s_N}{s_{N+k}}<\epsilon$ . Así, se ha demostrado que existe una $\epsilon>0$ tal que para todo $N\ge 1$ , $\sum_{m=1}^k\frac{a_{N+m}}{s_{N+m}}>1-\epsilon$ . Por tanto, la serie no cumple el criterio de Cauchy y diverge.

Answer 1

Esta puede ser una forma intuitiva de pensar en ello. Asumiendo que la secuencia es convergente, afirmo que existen algunas $\epsilon$ tal que para todo $N>0$ existe el término $$ \sum^{n}_{i=m}\frac{a_{n}}{s_{n}}\ge \epsilon, n>m> N $$ Por lo tanto, la secuencia no es convergente y debe divergir. Para ver la afirmación que hice, ya que sabemos $s_{n}\rightarrow \infty$ como $n\rightarrow \infty$ para cualquier tamaño de $N$ podemos descomponer $s_{n}=s_{N}+\sum^{N}_{i=n+1}a_{i}$ . Desde el $s_{N}$ será relativamente pequeño en contraste con $s_{n}$ con $n\rightarrow \infty$ basta con elegir suficientes factores de la suma para obtener $$\sum^{n}_{i=m}\frac{a_{i}}{s_{i}}\ge \frac{\sum^{n}_{i=m}a_{i}}{s_{n}}\ge \epsilon$$ Y creo que esto es esencialmente lo que la insinuación de Rudin y su prueba es. Por supuesto, este tipo de resultado no se sostendría si $\sum a_{i}$ converge, ya que la suma también convergería.

Answer 2

Su prueba de que $$\sum_{m=1}^k \frac{a_{N+m}}{s_{N+m}} \geq 1 - \frac{s_N}{s_{N+k}}$$ parece correcto, excepto que creo que, técnicamente, ya que $a_n > 0$ y por lo tanto $s_{n+1} > s_n$ para todos $n$ , $$\sum_{m=1}^k \frac{a_{N+m}}{s_{N+m}} > \frac{1}{s_{N+k}} \sum_{m=1}^k a_{N+m}.$$ Así que estrictamente mayor sin posibilidad de igualdad. También es posible que quieras remarcar el punto (ligeramente obvio) de que $s_{n+1} > s_n$ de antemano, para completarlo.

En cuanto a la segunda parte de la prueba, quizá podrías ser un poco más explícito y decir por qué la serie no cumple el criterio de Cauchy. Es decir, podrías decir que un $\epsilon > 0$ no puede ser elegido arbitrariamente por lo que ha mostrado.

En otras palabras, tu argumento parece bueno y sólo digo que podrías (¡opcional!) explicar tus pasos de manera más completa.