Una coleccion $\mathcal{V}$ de bloques abiertos en un espacio topológico $X$ es llamado un Sistema Fundamental de Abrir Barrios (EHIJO) de un punto de $x\in X$ cuando:
- $\forall\ V\in\mathcal{V}$ tenemos que $x\in V.$
- Si $A\subset X$ es conjunto abierto que contiene a $x$ $\exists\ V\in\mathcal{V}$ tal que $V\subset A$.
Por ejemplo, en cualquier espacio métrico el conjunto $\{B(x,\frac{1}{n}); n\in \mathbb{N}\}$ es un EHIJO de $x$.
Deje $\mathcal{W}(\mathbb{R})$ el conjunto de funciones continuas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con una topología define de la siguiente manera: Vamos a $f\in\mathcal{W}(\mathbb{R})$ y una positiva continua en función de $\varepsilon:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ y definir el conjunto $B(f,\varepsilon)=\{g\in\mathcal{W}(\mathbb{R}); |g(x)-f(x)|<\varepsilon(x)\ \forall x\in\mathbb{R}\}$ que es una base para la topología.
Demostrar que $\mathcal{W}(\mathbb{R})$ no es metrizable.
Sugerencia: Muestre que $f=0$ no tiene una contables EHIJO.
Intento:
Supongamos que tenemos una contables EHIJO llama$\mathcal{R}_{0}$$f=0$$\mathcal{R}_{0}=\{A_i\}_{i=1}^{\infty}$. A continuación, para cada una de las $A_i$ me puede optar $\varepsilon_i$ tal que $0\in B(0,\varepsilon_i)=\{g\in\mathcal{W}(\mathbb{R}); |g(x)|<\varepsilon_i(x)\ \forall x\in\mathbb{R}\}\subset A_i$. Entonces necesito encontrar una función positiva $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ tal que para todos los $i\in\mathbb{N}$ tenemos que $B(0,\varepsilon_i)\nsubseteq B(0,\varphi)$. Si se $\varepsilon_i(x)=\frac{1}{n}\ \forall x \in\mathbb{R}$ tengo que $\varphi(x)=\frac{1}{1+x^2}\ \forall x \in\mathbb{R}$ satisface la condición. Pero no sé cómo encontrar a $\varphi$ en el caso general.
