Geométrica de razón por la conjugación por un elemento de a $B_3$ invierte este elemento?

Question

Deje $B_3$ ser la trenza grupo en tres capítulos. Yo estaba mirando un elemento en $B_3$, lo que voy a escribir en el estándar de presentación:

$$(\sigma_2\sigma_1\sigma_2)^{-1}\sigma_1^3\sigma_2^{-3}(\sigma_2\sigma_1\sigma_2)$$

y yo era capaz de mostrar explícitamente es igual a $\sigma_2^{3}\sigma_1^{-3}$, que invierte el elemento por conjugación. Me preguntaba si uno ve esta geométricamente? (A través de algunos diagrama) O bien, si hay algún fenómeno que explica esto, o si es una mera coincedence.

Si el siguiente es conocido: ¿qué es lo interior de automorfismos de a $B_3$ aspecto en general? Tal vez la semi directo la presentación del producto es el más prometedor para la comprensión de la misma.

Answer 1

Esta trenza grupo es una extensión central de la modulares grupo $PSL(2,Z)$. En el caso de la segunda, es fácil ver donde este fenómeno viene de: orden dos de la rotación del plano hiperbólico que conserva el eje de una hiperbólica elemento y los swaps de sus extremos. Para ver cómo esto puede suceder, ascensor a $SL(2,Z)$. El orden de dos de rotación de ascensores a una orden de 4 de rotación. Es conjugado de un real diagonalizable la matriz de $M\in SL(2,Z)$ a su inverso iff la eigenlines de $M$ son ortogonales, es decir, iff $M=M^T$. Hay infinitamente muchos ejemplos de que esto ocurra.

En cuanto a tu última pregunta, para cada grupo de $G$, $Inn(G)\cong G/Z(G)$, donde $Z(G)$ es el centro de la $G$. En el caso de $B_3$, este cociente es isomorfo a $PSL(2,Z)$.

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