¿Cuál es la expresión algebraica de la tangente de cono realmente?

Question

Deje $A$ a (conmutativa unital) anillo, vamos a $\mathfrak{a} \subseteq A$ ser un ideal, y deje $B = A / \mathfrak{a}$. Entonces tenemos un descendiente de filtración $$\cdots \subseteq \mathfrak{a}^3 \subseteq \mathfrak{a}^2 \subseteq \mathfrak{a} \subseteq A$$ y el asociado gradual módulo $$C = B \oplus \mathfrak{a} / \mathfrak{a}^2 \oplus \mathfrak{a}^2 / \mathfrak{a}^3 \oplus \cdots$$ es graduado $B$-álgebra de manera evidente. En el caso de que $A$ es un anillo local y $I$ es el único ideal maximal, esta es la definición de la tangente de cono. ¿Y el caso general – ¿la construcción todavía tiene alguna geométrica significado?

Aquí hay algunos casos especiales:

• Supongamos $\mathfrak{a} = 0$. A continuación, $C \cong B$ ($B$- álgebras).
• Supongamos $A$ es una parte integral de dominio y $\mathfrak{a}$ es un no-cero director ideal. A continuación, cada una de las $\mathfrak{a}^n$ es también un no-cero, director de ideal, y no es difícil ver que $C$ es isomorfo (como $B$-álgebra) el polinomio de álgebra $B [t]$.
• Supongamos $A \to B$ admite una sección (como un anillo de homomorphism), por lo que el $A$ $B$- álgebra y $A \cong B \oplus \mathfrak{a}$ $B$- módulos. A continuación, $a \mapsto 1 \otimes \mathrm{d} a$ define un isomorfismo $\mathfrak{a} / \mathfrak{a}^2 \to B \otimes_A \Omega^1_{A \mid B}$, por lo $C$ es el cociente de la simétrica $B$-álgebra en $B \otimes_A \Omega^1_{A \mid B}$.

Por lo tanto, me parece que lo que tenemos es algún tipo de relación tangente de cono.

Answer 1

Como se mencionó en el comentario, en general, se llama el $\textit{the associated graded ring}$ $A$ con respecto al $I$. Este objeto ha sido intensamente estudiada tanto en álgebra conmutativa y geometría algebraica.

Escribir $\operatorname{gr}_I(A)$ $C$ por encima. Para simplificar, vamos a suponer también que $(A,m, k = A/m)$ es un Noetherian anillo local.

Deje $I$ ser un ideal que es primordial para el ideal maximal $m$, por lo que la longitud de $R/I^i$ es finita para todas las $i$. A continuación, puede definir la función $$ H_A(i): \mathbb{N} \to \mathbb{N} $$ como $H_A(i) = \dim_k I^i/I^{i+1}$. Este es el llamado de Hilbert función de $A$ con respecto al $I$. Desde $\operatorname{gr}_I(A) \cong \oplus_{i \ge 0} I^i/ I^{i+1}$ donde $I^0 = R$, no es difícil ver que $H_A(i) = \dim_{k} [\operatorname{gr}_I(A)]_i$ donde $[ \; \;]_i$ indica el $i$-th pieza de graduado módulo. En otras palabras, esta es una forma natural para pasar un objeto local a una gradual objeto.

Si usted está familiarizado con un blow-up, entonces también puede considerarse de la siguiente manera. Deje $X = \operatorname{Spec}(A)$$Z = V(I)$. Deje $X'$ el estallido de $X$ a lo largo de $Z$, es decir, no existe una adecuada binacional de morfismos $\pi: X' \to X$ que es un isomorfismo fuera de $Z$. Llamamos a $E = \pi^{-1}(Z)$ excepcional de la fibra de la explosión. A continuación,$E \cong \operatorname{Proj} \operatorname{gr}_I(A)$.

Otro significado de los asociados gradual anillo es que las "buenas" propiedades de transferencia para el anillo de $A$. Por ejemplo, si $\operatorname{gr}_I(A)$ es reducido, de dominio, o integralmente dominio cerrado, por lo que es $A$. No sólo esto, sino que también, regular, Gorensteinness, o Cohen-Macaulayness también la transferencia. Creo que fue Hironaka que trajo la importancia de los asociados gradual de álgebra para el estudio de las singularidades.

En álgebra conmutativa, creo, Craig Huneke es una de las primeras personas que han iniciado el estudio. El uso de las siguientes secuencias exactas $$ 0 \IA[Es] \[Es] \a \operatorname{gr}_I(A) \a 0, $$ y $$ 0 \a \oplus_{\ge 1} [It] \[Es] \a \a 0, $$ Mostró que si $A$ $A[It]$ son de Cohen-Macaulay, a continuación, $\operatorname{gr}_I(A)$ es. Tal vez vale la pena poner al menos un ejemplo de cómo usar el Cohen-Macualayness de $\operatorname{gr}_I(A)$. En el estudio de Hilbert de las funciones, es mucho más sencillo para el estudio de un Artinian gradual anillo de más de un campo. En este caso, Hilbert-la función no es sino el espacio vectorial de dimensión de cada uno de los clasificados de componentes. Si $I = m$ $\operatorname{gr}_I(A)$ es Cohen-Macaulay, entonces uno puede reducirse a la buena de caso, Artinian gradual anillo de más de un campo.

El nombre de la tangente de cono podría volver a Zariski desde $m/m^2$ se llama la Zariski la cotangente del espacio y su dual es el Zariski el espacio de la tangente. La palabra de cono probablemente proviene tomar el afín de cono de la proyectiva esquema mencionado anteriormente.

En su pregunta, se analizó el caso de que $I$ es distinto de cero principales y $A$ es una parte integral de dominio. Sin embargo, la suposición de $I$ es generado por un divisor distinto de cero es suficiente. De hecho, cuando se $I$ es una completa intersección de la altura de la $s$, generado por una secuencia de los no divisores de cero, a continuación, $\operatorname{gr}_I(A) \cong A/I[x_1, \dots, x_s]$ que generaliza el caso al $I$ es la directora.

Creo que el último comentario que hizo tiene que ver con la cotangente $m/m^2$ y conormal $I/I^2$ módulos. Recientemente, hubo una respuesta a esta pregunta en la geometría algebraica en caso de $I$ es una completa intersección. Sin embargo, no recuerdo que post era.