Uniformemente cuasi-isométrica de los parches de las clases de Riemann colectores

Question

Supongamos $(M^d,g)$ es un cerrado, conectado de Riemann colector. Hay una constante $R > 0$ tal que para todos los $z \in (M,g)$, para todos los $x \in B_R(z)$, \begin{equation} \frac{1}{2} \lVert \xi \rVert_{\mathbb{R}^d}^2 \leq \sum_{ij} g^{ij}(x) \xi_i \xi_j \leq 2 \lVert \xi \rVert_{\mathbb{R}^d}^2 \end{equation} para todos los $\xi \in \mathbb{R}^d$ donde $g^{ij}(\cdot)$ se expresa en exponencial de coordenadas centrado en $z$?

Mi pregunta real es: ¿puede una constante $R>0$ se encuentra la satisfacción de las mismas desigualdades por todo cerrado, conectado a $d$-dimensiones de Riemann colectores cuyas curvaturas seccionales son limitados tanto por encima y por debajo?

Answer 1

No he hecho mucho con el tensor métrico, pero usted puede resolver este problema por la compacidad. El $g^{ij}$ enfoque de $\delta_{ij}$ (en realidad, solo hay que acercarse a valores de entre 1/2 y 2 en la diagonal, y ser lo suficientemente pequeño fuera de la diagonal) como enfoque de $z$ o no.

1. Si lo hacen, entonces alrededor de cada una de las $z$ elegir un $R$ suficientemente pequeñas que las desigualdades de retención en la $z$ y en la bola de radio $R$, luego de cubrir el espacio de que todas las pelotas en diferentes $z$'s con un radio de $R/2$. Elija un número finito de subcover (centrado en $z_1,...,z_n$ con radios $R_1/2,...,R_n/2$), y deje $R'$ ser el más pequeño $R_i/2$. A continuación, $R'$ obras, ya que cada bola de radio $R'$ se encuentra en su totalidad en una de las bolas alrededor de $z_i$ radio $R_i$, por lo que las desigualdades de espera.
2. Si el tensor no se aproxima a la identidad lo suficientemente cerca como te acercas a $z$, $x=z$ es un contraejemplo.

Edit: he investigado más; Puesto que usted está utilizando exponencial coordenadas caso 1 contiene. (El tensor métrico enfoques de la identidad, de acuerdo a http://physics.stackexchange.com/questions/20781/are-there-any-clear-and-expressive-plainword-sense-of-metric-tensor-components).