Gráfico de un morfismo de esquemas afines

Question

Dejemos que $f:X\to Y$ sea un morfismo de esquemas (aquí suave, separado, de tipo finito sobre un campo). Entonces el gráfico $\Gamma_f$ se define como la imagen del morfismo $(id,f):X\to X\times Y$ .

Afirmación: La gavilla de estructura del grafo es un coherente $\mathcal O_{X\times Y}$ -módulo.

Intenté convencerme de ello considerando primero el caso afín y me confundí vergonzosamente:

Así que si $X=Spec\ (R)$ y $Y=Spec\ (S)$ entonces $X\times Y=Spec\ R\otimes S$ . Sea $f':S\to R$ sea el homomorfismo de anillo correspondiente, entonces el gráfico debería ser simplemente $\{s\otimes f'(s)\}$ . Y supongo que hice algo mal aquí, porque esto ciertamente no es $S\otimes R$ -módulo. El módulo generado por el conjunto $\{s\otimes f'(s)\}$ por otro lado es todo el anillo, porque $f'(1)=1$ .

Es fácil ver que el gráfico es un subesquema cerrado, por lo que debería ser posible escribirlo como un cociente de $R\otimes S$ .

Answer 1

El gráfico $\Gamma_f\subset X\times Y$ es un subesquema cerrado de $X\times Y$ y como tal corresponde a un ideal del anillo $R\otimes_k S$ como muy bien has dicho.
Ese ideal es el núcleo $I$ del morfismo del anillo $$ R\otimes_k S\to R: r\otimes s\mapsto rf'(s) \quad (\star) $$ La gavilla de estructura $\mathscr O_{\Gamma_f} $ del gráfico es entonces el $\mathscr O_{X\times_kY}$ - módulo $\widetilde {\frac {R\otimes_k S}{I}}$ correspondiente al $R\otimes_k S $ - módulo $\frac {R\otimes_k S}{I}$ y, por tanto, es coherente.
[Porque $R\otimes_k S$ es noetheriano. Tengan en cuenta que la gavilla estructural de un esquema, incluso uno afín, no necesita ser coherente en ausencia de noeterianismo]
Obsérvese que la primera proyección $X\times_kY\to X$ se restringe a un isomorfismo $\Gamma_f \stackrel {\cong}{\to} X$ correspondiente a la inversa del isomorfismo $\frac {R\otimes_k S}{I} \stackrel {\cong}{\to} R $ deducido de $(\star) $ .

Answer 2

El (pushforward de la hoja de estructura del) gráfico es $R$ considerado como un $S$ -a través del homomorfismo $f$ y considerado como un $R$ -módulo de manera obvia.