Probabilidad condicional de la mano de 5 cartas

Question

Tenemos una mano de 5 cartas de una baraja estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que la mano es todo lo Picas, dado que tiene al menos dos Espadas?

Sé que la fórmula de la probabilidad condicional es: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Así que en este caso sería:

$P(A|B) = \frac{13 \choose 5}{{13 \choose 5}+{13 \choose 4}{39 \choose 1}+{13 \choose 3}{39 \choose 2}+{13 \choose 2}{39 \choose 3}}$

Answer 1

El número de $X$ de picas puede ser modelada como una variable aleatoria hipergeométrica. $P(X = k) = \frac{{13\choose k}{39 \choose 5-k}}{{52 \choose 5}},$ $k = 0,1, \dots,5.$ Aquí está el PDF de la tabla de la R de software estadístico:

k=0:5;  pdf = dhyper(k, 13, 39, 5)
cbind(k, pdf)
## k          pdf
## 0 0.2215336134
## 1 0.4114195678
## 2 0.2742797119
## 3 0.0815426170
## 4 0.0107292917
## 5 0.0004951981

Creo que su respuesta es OK, pero no he comprobado los valores numéricos directamente a partir de su fórmula. Si estás usando una calculadora para obtener los valores numéricos, es más fácil encontrar a $P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1).$

De R, I conseguir su deseada de la probabilidad condicional de ser 0.001349141 (como se ha Comentado por @user1775500).

[En R, dhyper es el PDF y phyper es el CDF.]

dhyper(5, 13, 39, 5)/(1 - phyper(1, 13, 39, 5))
## 0.001349141
dhyper(5, 13, 39, 5)/sum(dhyper(2:5, 13, 39, 5))
## 0.001349141

Es extremadamente raro que cinco de espadas en una mano de cinco cartas (.0005). Sabiendo que hay al menos dos, se obtiene más del doble que la probabilidad (.0013), pero aún no es un valor muy grande.