Evaluar

Question

¿Cómo puedo evaluar $$\int \frac{\sec^2 x}{(\sec x + \tan x )^{{9}/{2}}}\,\mathrm dx$$

He empezado a hacer este problema mediante la toma de $u=\tan x$.

Answer 1

Usted correcto que esta integral puede resolverse por medio de la sustitución $t=\tan x$. Para hacer esto más divertido, nos vamos a reescribir la integral en la forma general de la siguiente manera $$\begin{equation} I_n=\int\frac{\sec^2x}{\left(\sqrt{1+\tan^2x}+\tan x\right)^n}\,dx\qquad,\qquad n>1 \end{equation}$$ Nuestro problema original es de $n=\frac{9}{2}$. Ahora, vamos a $t=\tan x$, luego tenemos $$\begin{equation} I_n=\int\frac{dt}{\left(\sqrt{1+t^2}+t\right)^n} \end{equation}$$ Hacer una sustitución, el uso de las funciones hiperbólicas bien $t=\sinh y$ o $t=\cosh y$, tenemos $$\begin{align} I_n=\int\frac{\cosh y}{\left(\sqrt{1+\sinh^2y}+\sinh y\right)^n}\,dy&=\int\frac{\cosh y}{\left(\cosh y+\sinh y\right)^n}\,dy\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{e^{y}+e^{-y}}{e^{ny}}\,dy\\ &=\frac{1}{2}\int\left[e^{-(n-1)y}+e^{-(n+1)y}\right]\,dy\\ &=-\frac{e^{-(n-1)y}}{2(n-1)}-\frac{e^{-(n+1)y}}{2(n+1)}+C \end{align}$$ El resto es trivial hacer mediante el uso de identidades $\cosh y\pm\sinh y=e^{\pm y}$$\cosh^2 y-\sinh^2 y=1$, por lo tanto $$\begin{equation} I_n=-\frac{(\sec x-\tan x)^{n-1}}{2(n-1)}-\frac{(\sec x-\tan x)^{n+1}}{2(n+1)}+C \end{equation}$$ Curiosamente, tenemos una bonita forma cerrada para la siguiente integral definida $$\begin{equation} I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sec^2x}{\left(\sec x+\tan x\right)^n}\,dx=\frac{n}{n^2-1} \end{equation}$$

Answer 2

$\bf{My\; solution::}$ $$\displaystyle \int\frac{\sec^2 x}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx$$

Vamos $$(\sec x+\tan x)= t\;,$$ Then $$\left(\sec x\cdot \tan x+\sec^2 x\right)dx = dt$$

Por lo $$\displaystyle \left(\sec x+\tan x\right)dx = \frac{dt}{\sec x}\Rightarrow \displaystyle dx = \frac{dt}{\sec x}$$

Ahora El Uso De $$\bullet \displaystyle (\sec^2 x-\tan^2 x) = 1\Rightarrow (\sec x+\tan x)\cdot (\sec x-\tan x) = 1$$

Así $$\displaystyle (\sec x-\tan x) = \frac{1}{t}$$ and we above substitute $$\displaystyle (\sec x+\tan x)=t$$

Así, obtenemos $$\displaystyle \sec x = \frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$$

Ahora nuestros Integral convertir en $$\displaystyle \frac{1}{2}\int\frac{\sec x}{t^{\frac{9}{2}}}dt = \frac{1}{2}\int \frac{t+\frac{1}{t}}{t^{\frac{9}{2}}}dt = \frac{1}{2}\int t^{-\frac{7}{2}}dt+\frac{1}{2}\int t^{-\frac{11}{2}}dt$$

Así, obtenemos $$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot -\frac{2}{5}\cdot t^{-\frac{5}{2}}+\frac{1}{2}\cdot -\frac{2}{9}\cdot t^{-\frac{9}{2}}+\mathcal{C}$$

Por lo $$\displaystyle \int\frac{\sec^2 x}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx = -\frac{1}{5}\cdot (\sec x+\tan x)^{-\frac{5}{2}}-\frac{1}{9}\cdot (\sec x+\tan x)^{-\frac{9}{2}}+\mathcal{C}$$

Answer 3

Dado $$\displaystyle \int\frac{\sec^2 x}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx = \frac{1}{2}\int\frac{\sec x(\sec x+\tan x)+\sec x(\sec x-\tan x)}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx$$

$$\displaystyle = \frac{1}{2}\int\frac{\sec x\cdot (\sec x+\tan x)}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{\sec x\cdot (\sec x-\tan x)}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx$$

Ahora Uso $\sec^2x-\tan^2 x= 1$ Para La Segunda Integral, Obtenemos

$$\displaystyle = \frac{1}{2}\int\frac{\sec x\cdot (\sec x+\tan x)}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{\sec x\cdot (\sec x+\tan x)}{(\sec x+\tan x)^{\frac{13}{2}}}dx$$

Ahora, Por tanto Integral , Deje $\sec x+\tan x=t\;,$ $\sec x(\sec x+\tan x)dx = dt$

Llegamos $$\displaystyle = \frac{1}{2}\int\frac{1}{t^{\frac{9}{2}}}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t^{\frac{13}{2}}}dt = -\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{7}t^{-\frac{7}{2}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{11}t^{-\frac{11}{2}}+\mathcal{C}$$

Así, Obtenemos $$\displaystyle \int\frac{\sec^2 x}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx = -\frac{1}{7}(\sec x+\tan x)^{-\frac{9}{2}}-\frac{1}{11}(\sec x+\tan x)^{-\frac{11}{2}}+\mathcal{C}$$

Answer 4

Sugerencia: Tome $\sec x + \tan x = t$

$\implies\sec x \: \text{d}x=\frac {\text{d}t}{t}$

y

$\sec x = \dfrac{t^2+1}{2t}$

Answer 5

$\bf{Another\; Solution::}$Vamos

$$\displaystyle I = \int\frac{\sec^2 x}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx = \int\frac{\cos ^{\frac{5}{2}}x}{(1+\sin x)^{\frac{9}{2}}}dx = \int\frac{\cos^{\frac{3}{2}}x\cdot \cos x}{(1+\sin x)^{\frac{9}{2}}}dx$$

Ahora Vamos A $\sin x = t\;,$ $\cos xdx = dt\;,$ $$\displaystyle I = \int\frac{(1-t^2)^{\frac{3}{4}}}{(1+t)^{\frac{9}{2}}}dt = \int\frac{(1-t)^{\frac{3}{4}}}{(1+t)^{\frac{15}{4}}}dt$$

Ahora Vamos a $\displaystyle (1+t) = s\;,$ $dt = ds$ $$\displaystyle I = \int (2-s)^{\frac{3}{4}}\cdot s^{-\frac{15}{4}}ds = \int \left(\frac{2-s}{s}\right)^{\frac{3}{4}}\cdot s^{-3}ds$$

Ahora Vamos A $\displaystyle \left(\frac{2}{s}-1\right) = y\;,$ $$\displaystyle -\frac{2}{s^2}ds = dy\Rightarrow ds = -\frac{1}{2}y^2dy$$

Por lo $$\displaystyle I = -\frac{1}{4}\int y^{\frac{3}{4}}\cdot (y+1)dy = -\frac{1}{4}\int y^{\frac{7}{4}}dy-\frac{1}{4}\int y^{\frac{3}{4}}dy$$

Por lo $$\displaystyle I = -\frac{1}{11} y^{\frac{11}{4}}-\frac{1}{7} y^{\frac{7}{4}}+\mathcal{C} = -\left[\frac{1}{11}\cdot \left(\frac{2-s}{s}\right)^{\frac{11}{4}}+\frac{1}{7}\cdot \left(\frac{2-s}{s}\right)^{\frac{7}{4}}\right]+\mathcal{C}$$

Por lo $$\displaystyle \int\frac{\sec^2 x}{(\sec x+\tan x)^{\frac{9}{2}}}dx = -\left[\frac{1}{11}\cdot \left(\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\frac{11}{4}}+\frac{1}{7}\cdot \left(\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\frac{7}{4}}\right]+\mathcal{C}$$