¿Cómo se puede determinar la derivada de ( $f(x) = \frac{8}{\sqrt{x -2}}$ ) utilizando la definición de límite de la derivada (es decir $\lim\limits_{h\to 0} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ ) en lugar de limitarse a aplicar la regla de la cadena. Así que estoy pensando que esto cuenta como una pregunta de álgebra, pero no puedo encontrar demasiados ejemplos que tratan de la simplificación de expresiones polinómicas con exponentes fraccionarios. He llegado hasta aquí, $\frac {1}{h} (\frac{8}{\sqrt{x+h-2}} - \frac{8}{\sqrt{x-2}})$ En caso de que no esté usando la terminología correcta o no esté siendo claro, lo que quiero decir es que se puede eliminar algebraicamente el $h$ del denominador en la expresión anterior para tomar el valor del límite?
Respuesta
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Sugerencia: Para $x>2$ y cualquier otro que no sea cero $h$ tal que $x+h>2$ :
$$\frac {1}{h} \left(\frac{8}{\sqrt{x+h-2}} - \frac{8}{\sqrt{x-2}}\right)$$
$$ = \frac {1}{h} \frac{8(\sqrt{x-2} - \sqrt{x+h-2})}{\sqrt{x+h-2}\sqrt{x-2}} $$
$$ = \frac {1}{h} \frac{8[(x-2) - (x+h-2)]}{\sqrt{x+h-2}\sqrt{x-2}(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+h-2})} $$
$$ = -\frac{8}{\sqrt{x+h-2}\sqrt{x-2}(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+h-2})}. $$
Cuando $h$ se acerca a $0$ La última fracción se aproxima: $$ -\frac{4}{(x-2)\sqrt{x-2}} $$
