Calcular el límite de un integrante de la secuencia

Question

He estado tratando durante las últimas horas para resolver el siguiente problema, que tiene este aspecto :

Encontrar el límite de $l$ : $$l=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,\,n\int\limits_0^n {\frac{{\arctan (\frac{x}{n})}}{{x(x^2 + 1)}}} \,dx$$

Utilice el resultado para calcular: $$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\, \n\, (\n\int\limits_0^n {\frac{{\arctan (\frac{x}{n})}}{{x(x^2 + 1)}}} \,dx - \frac{\pi }{2}) $$ He tratado de expansión de Taylor, parcial fracción de descomposición, pero realmente no puedo encontrar nada útil. Un poco de ayuda sería muy apreciada. Estoy mucho más interesado en el método que en el resultado real.

Answer 1

Sugerencia/sugerencia: hacer el cambio de variables $u=\frac{x}{n}$, entonces el uso de Lebesgue del teorema de convergencia dominada para calcular el límite de la integral resultante.