Teorías y modelos

Question

Pido disculpas si mi pregunta no está bien formado. La razón para ello es que no entiendo los conceptos suficiente para ser capaz de pedir una completamente significativo pregunta.

En las clases nos dijo que una teoría de la $T$ se compone de un conjunto de símbolos lógicos y declaraciones que llamamos axiomas.

Edit: estoy hablando sólo de la lógica proposicional aquí.

Decimos que una instrucción lógica $A$ puede ser probado por $T$ si hay una prueba de $A$ el uso de la deducción estándar reglas de la lógica y suponiendo que los axiomas de la $T$.

Lo siguiente que tenemos definido el modelo de $M$ de una teoría de la $T$.

Dada la tupla $(B,v)$ donde $B$ es un álgebra de boole y $v:X \mapsto B$ es lo que se denomina valoración de la función de asignación de símbolos $X$ a los elementos de $B$.

Hemos definido el significado de una declaración de $A$ $[A] \in B$ natural en la manera inductiva

• $[\perp] = 0$, $[\top] = 1$

• $[p] = v(p)$ si $p$ es un símbolo lógico

• $[A \vee B] = [A] \vee_B [B]$ (aquí se $\vee_B$ denota la operación de que se trate relacionar con $B$)

• y así sucesivamente.....

Nos dijo entonces que una declaración de $A$ es válido si $[A]= 1$ por lo que el significado de $A$ wrt. un modelo de $M$ es el elemento $1$ del álgebra de boole en $M.$

Un modelo de la teoría de la $T$ cualquier $(B,v)$ en el que los axiomas de la $T$ tienen un significado 1.

Después de eso, muchos de los teoremas seguido relativas a la validez de una declaración de $A$ en el modelo de $M$ de una teoría de la $T$ y el provability de que la declaración en $T$.

Aquí es donde me pierdo. Lo que está pasando exactamente? ¿Por qué estamos incluso la introducción de los modelos? Este nuevo nivel de abstracción cuando se trata de las teorías que me confunde por completo. ¿Cómo estos modelos surgen en el trato con los "prácticos" prueba matemática de trabajo? Hay un tonto ejemplo?

Answer 1

He aquí un ejemplo: tomar su idioma para ser el grupo de lenguaje $L_G = \{ e, \cdot \}$ y su teoría de los tres grupo de axiomas: $$ (i) \exists e \in G: \forall g \in G: eg = ge = g$$

$$ (ii) \forall g \in G \exists g^{-1} \in G: gg^{-1} = g^{-1}g = e$$

$$ (iii) \forall a,b,c \in G: a(bc) = (ab)c$$

A continuación, cada grupo es un modelo de la teoría.

En cuanto a por qué estamos introduciendo modelos: eso podría ser porque hace que sea más fácil pensar en una teoría dada.

Answer 2

Voy a tratar de aclarar su confusión.

Básicamente, en la lógica de las fórmulas, que son secuencias de símbolos, y de la interpretación, que dan sentido a las fórmulas. Este significado es generalmente un valor de verdad, es decir, un valor en $\{0, 1\}$. Su caso es más general, el significado es un valor en algunos álgebra booleana. La interpretación se dice que es un modelo de la fórmula si el significado de la fórmula es $1$. La interpretación se dice que es un modelo de un conjunto de fórmulas si se trata de un modelo de cada fórmula.

La noción central en la lógica de la noción de consecuencia lógica. Se define como sigue la fórmula (conjunto de fórmulas) $G$ se dice que es una consecuencia lógica de la fórmula (conjunto de fórmulas) $F$ (en símbolos $F \models G$) si cada modelo de $F$ es un modelo de $G$. Ahora la definición de $\models$ generalmente es altamente no-constructiva. Que se obliga a examinar todos los modelos de la fórmula. Para solucionar este problema, la deducción de sistemas son introducidos. El hecho de que $G$ es deducible de $F$ es generalmente denotado como $F \vdash G$. Idealmente, el sistema de deducción debe ser completa ($F \models G \implies F \vdash G$) y consistente ($F \vdash G \implies F \models G$).

Para resumir, creo que la relación se $\models$ de consecuencia lógica es el centro de la relación en la lógica (y se define a través de los modelos) y la relación $\vdash$ de deducibilidad es complementaria.

Answer 3

Intuitivamente se podría pensar en un modelo de $M$ de una teoría de la $T$ como un ejemplo.

Decir $\mathcal L$ es un PL-1 idioma, $T$ es un conjunto de $\mathcal L$ frases de una $T$modelo $M$ se define como un $\mathcal L$-estructura de decisiones de las sentencias en $T$ true cuando se interpreta en $M$.

Supongamos $T$ es el conjunto de grupo de axiomas. A continuación, el grupo lineal general $GL_n(\Bbb R)$ y el especial lineales grupo $SL_n(\Bbb R)$ cada uno con matrice multiplicación son ejemplos de grupos o u puede decir que los modelos del grupo de axiomas, así como todas las máquinas de turing con la concatenación de satisfacer el grupo de axiomas y por lo tanto es un grupo / modelo de la teoría de grupos.

Answer 4

Mi impresión de que esto va de que en el cálculo proposicional, con la única prueba de la teoría, existen formas para derivar las fórmulas que intuitivamente tienen significados que, o bien superar la comprensión de una persona o venir tan ridículamente difíciles de ver. Esto implica que más que las matemáticas pueden obtener formado que sea posible con las pruebas sólo de las matemáticas, ya que más conexiones que existen entre los enunciados matemáticos que ordinaria de matemáticas da por sentado. Por lo tanto, estos nuevos niveles de abstracción de ayuda para informarle de qué otra cosa se puede hacer matemáticamente que usted puede creer. Esto también ayuda a informarle cuando la propuesta de nuevas conexiones no son válidas o necesidad validado de manera diferente que un autor se propuso.