Demostrar que $X'$ es un espacio de Banach

Question

Me estoy tomando un nuevo rumbo en el análisis funcional y el encuentro con el siguiente problema.

Si $X$ es una normativa espacio (no necesariamente completa), luego de demostrar que $X'$ es un espacio de Banach.

Definición: Cuando la inducida por la métrica del espacio es completo,la normativa espacio se llama espacio de Banach. No tengo idea de que aquí,en particular, no sé qué $X'$ representa? Saludos!

Answer 1

Por definición, $X'$ es un espacio delimitado lineal funcionales en $X$. Más preciesly $$X'=\{f\in\mathcal{L}(X,\mathbb{C}):\Vert f\Vert<+\infty\}$$ donde $\mathcal{L}(X,\mathbb{C})$ es un espacio lineal de funciones lineales de $X$ $\mathbb{C}$y $$\Vert f\Vert:=\sup\{|f(x)|:x\X\quad \Vert x\Vert\leq 1\}$$ Con el fin de demostrar que el $X'$ es completa considerar la secuencia de Cauchy $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}\subset X'$. Fix $\varepsilon>0$. Desde $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ es una secuencia de Cauchy no existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para todos los $n,m>N$ tenemos $\Vert f_n-f_m\Vert\leq\varepsilon$. Considerar arbitraria $x\in X$, luego $$|f_n(x)-f_m(x)|=|(f_n-f_m)(x)|\leq\Vert f_n-f_m\Vert\Vert x\Vert\leq\varepsilon \Vert x\Vert$$ Así vemos que $\{|f_n(x)|:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{C}$ es una secuencia de Cauchy. Desde $\mathbb{C}$ es completa, no existe únicas $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)$. Desde $x\in X$ es arbitrario, podemos definir la función $$f(x):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)$$ Nuestro objetivo es mostrar que $f\in X'$$\lim\limits_{n\to\infty}f_n=f$. Vamos $x_1,x_2\in X$, $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{C}$ entonces $$f(\alpha_1 x_1+ \alpha_2 x_2)= \lim\limits_{n\to\infty}f_n(\alpha_1 x_1+ \alpha_2 x_2)=$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}(\alpha_1 f_n(x_1) + \alpha_2 f_n(x_2))= \alpha_1 \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_1) + \alpha_2 \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_2))= \alpha_1 f(x_1) + \alpha_2 f(x_2)$$ Así llegamos a la conclusión de $f\in\mathcal{L}(X,\mathbb{C})$. Desde $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ es una secuencia de Cauchy es limitado en $X'$, es decir no existe $C>0$ tal que $\sup\{\Vert f\Vert:n\in\mathbb{N}\}\leq C$. Por lo tanto, para todos los $x\in X$ hemos $$|f(x)|= |\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)|= \lim\limits_{n\to\infty}|f_n(x)|\leq \limsup\limits_{n\to\infty}\Vert f_n\Vert \Vert x\Vert\leq \Vert x\Vert\sup\{\Vert f_n\Vert:n\in\mathbb{N}\}\leq C\Vert x\Vert$$ Ahora vemos que $\Vert f\Vert\leq C$, pero como hemos demostrado anteriormente $f\in\mathcal{L}(X,\mathbb{C})$, lo $f\in X'$. Por último recordar que para determinado $\varepsilon>0$ $x\in X$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $n,m>N$ implica $$|f_n(x)-f_m(x)|\leq\varepsilon \Vert x\Vert.$$ A continuación, vamos a tomar aquí un límite al $m\to\infty$. Vamos a conseguir $$|f_n(x)-f(x)|\leq\varepsilon \Vert x\Vert.$$ Desde $x\in X$ es arbitrario, hemos demostrado que para todos los $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $n>N$ implica $$\Vert f_n-f_m\Vert= \sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in X,\quad \Vert x\Vert\leq 1\}\leq \varepsilon.$$ Esto significa que $\lim\limits_{n\to\infty} f_n=f$. Desde que se demostró que cada secuencia de Cauchy en $X'$ tienen un límite, $X'$ es completa.

Esta prueba puede ser fácilmente generalizado hasta el siguiente teorema: Si $X$ es una normativa espacio y $Y$ es un espacio de Banach, entonces el espacio lineal de todos los delimitadas las funciones lineales de $X$ $Y$es completa.

Answer 2

Podemos ver más:

Si $X$ es una normativa espacio y $E$ una completa normativa espacio, entonces el espacio vectorial $L(X,E)$ de continuo lineal mapas de$X$$E$, dotado de la norma $\lVert T\rVert_{L(X,E)}:=\sup_{x\in X,x\neq 0}\frac{\lVert Tx\rVert_E}{\lVert x\rVert_X}$, es un espacio de Banach.

Deje $\{T_n\}\subset L(E,F)$ una secuencia de Cauchy. A continuación, para cada uno de ellos fijo $x$, la secuencia de $\{T_nx\}\subset E$ es una secuencia de Cauchy, que converge por la integridad de algún elemento de $E$ denotado $Tx$. El mapa de $x\mapsto Tx$ es lineal, tenemos que comprobar que es continua y que $\lVert T_n-T\lVert\to 0$.

Llegamos $n_0$ que si $n,m\geq n_0$ a continuación, para cada $x$ $\lVert T_nx-T_mx\rVert_E\leq\lVert x\rVert_X$ y dejando $m\to+\infty$ obtenemos $\lVert T_nx-Tx\rVert_E\leq\lVert x\rVert_X$ $\lVert Tx\rVert\leq \lVert x\rVert+ \lVert T_{n_0}\rVert\lVert x\rVert$ $T$ es continua.

Fix $\varepsilon>0$. Podemos encontrar $N$ que si $n,m\geq N$$x\in E$$\lVert T_nx-T_mx\rVert_E\leq \varepsilon\lVert x\rVert_X$. Dejando $m\to \infty$, obtenemos $n\geq N$ $x\in X$ que $\lVert T_nx-Tx\rVert_E\leq \varepsilon\lVert x\rVert_X$, y tomando el supremum sobre el $x\neq 0$ obtenemos $n\geq N$ que $\lVert T-T_n\rVert_{L(X,E)}\leq \varepsilon$.