Si usted piensa en su superficie como la mitad superior del plano modulo de un grupo de transformaciones de Moebius $G$, inicio de la representación de cada una de sus transformaciones de Moebius $ z \longmapsto \frac{az+b}{cz+d}$ por una Matriz.
$$A = \pmatrix{ a & b \\\ c & d}$$
Y puesto que sólo el representante en $PGL_2(\mathbb R)$ es importante, la gente suele normalizar tener $Det(A) = \pm 1$.
La clasificación estándar de Moebius transformaciones elíptica / parabólica / hiperbólico (loxodromic) es en términos del determinante y la traza cuadrada. Usted es hiperbólico si y sólo si la traza cuadrado es mayor que $4$. Hiperbólico transformaciones, es decir, sin puntos fijos en el interior del disco de Poincaré, y dos puntos fijos en el límite, y son más bien de forma explícita "de la traducción a lo largo de una geodésica".
Elíptica transformaciones fijar un punto en el interior del disco, de forma que no se pueden cubrir las transformaciones. Parabolics sólo se consigue cubriendo transformaciones si la superficie no es compacto, porque parabolics tiene un punto fijo y su en el límite -- si uno tenía una cubierta de transformación se diría que su superficie no trivial cerradas curvas tales que la longitud funcional no tiene límite inferior en su homotopy clase.
Por lo que su cubriendo tranformations son sólo hiperbólica. Que ocurre sólo cuando $tr(A)^2 > 4$. Entonces, ¿cómo encontrar su eje? Es la geodésica entre dos puntos fijos en el límite, por lo que usted está buscando soluciones de la ecuación:
$$ t = \frac{at+b}{ct+d}$$
para $t$ real, esta es una ecuación cuadrática en la variable real $t$. Si recuerdo la ecuación cuadrática esos dos puntos son:
$$ \frac{tr(A) \pm \sqrt{tr(A)^2 - 4Det(A)}}{2c}$$
Es esto lo que buscas?
