Para una aplicación informática, te sugeriría que evites toda ambigüedad obligando al usuario a escribir $$ (\sin x)^2 $$ para $\sin^2(x)$, y $$ \arcsin x $$ para la funciones inversa. No permitas $\sin^n (x)$ ya que es una abreviatura abusiva que ha confundido a la gente más que ayudar.
Sin embargo, también vale la pena señalar que Wolfram Alpha interpreta $\sin^{-2}(x) = \frac{1}{(\sin x)^2}$, mientras que $\sin^{-1}(x) = \arcsin x$. Más generalmente, parece que $n = 1$ es un caso especial en $\sin^n(x)$ y de lo contrario se interpreta como $(\sin x)^n$.
La razón por la que $\sin^n(x)$ es una mala notación para $(\sin x)^n$ es que en la mayoría de los contextos, $f^n(x)$ significa la $n$-ésima iteración de $f$. En particular, la $-1$-ésima iteración de una función invertible es la inversa, así que $\sin^{-1}$ realmente sería una forma natural de denotar $\arcsin$.
Por otro lado, el problema con $\sin^{-1}(x)$ para $\arcsin$ es, por supuesto, que entra en conflicto con la notación ampliamente extendida de $\sin^2(x)$. Realmente no se puede ganar.
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"Pienso que esto no puede ser posible" ¿Por qué?
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Puede ser ambas. Es una mala notación. Tienes que adivinar por el contexto.
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El primero es correcto. Pero responde a la pregunta de Michael
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Porque si esto fuera posible, entonces sin potencia -1 no sería arcsin. Yo pienso de esa manera.
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@Bora "sin powered to -1 wouldn't be arcsin" $f^{-1}$ es la notación para la función inversa, ¿sabías?
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@MichaelGaluza Lo sé. Pero estaba hablando de acuerdo a mi pregunta. Estaba hablando sobre "si no" posible.
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@Bora De todos modos, $\sin^{-2} x \ne \arcsin^2 x$ porque significa que $1/\sin x = \arcsin x$
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@MichaelGaluza: Algunas personas usan $\sin^{-1} x$ para significar $\arcsin x$, ese es el punto.
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@Javier, lo sé.
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El problema es que $f^n(x)$ podría significar $(f(x))^n$ o $$(\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f }_{n \text{ veces }}) (x) $$