¿Cuál es la mejor manera de computar $\frac{a^4 + b^4 + c^4}{a^2 + b^2 + c^2}$

Question

Por lo tanto, mi profesor nos dio esto para calcular ayer, y estoy completamente confundido sobre cómo debo proceder :

$$\frac{1^4 + 2012^4 +2013^4}{1^2 + 2012^2 + 2013^2}$$

He intentado de varias maneras, pero la mayoría de ellos son muy largos, por ejemplo he simplificado ambos números :

$2012^2 = (2 * 10^3)^2 + 12^2 + 24 * 10^3$

$2013^2 = (2 * 10^3)^2 + 13^2 + 26 * 10^3$

Yo no puedo ver cómo esto podría ayudarme a resolver este problema . Entonces, ¿cómo ¿cómo debo ir con este tipo de problemas en general ?

Answer 1

Lo que usted está buscando en es $$\frac{1+x^4+(x+1)^4}{1+x^2+(x+1)^2}$$ where $x=2012$. Expanding and simplifying, this is $$\frac{2+4x+6x^2+4x^3+2x^4}{2+2x+2x^2}=\frac{1+2x+3x^2+2x^3+x^4}{1+x+x^2}$$ $$=\frac{(1+x+x^2)^2}{1+x+x^2}=1+x+x^2.$$

Por lo tanto, la respuesta final es $$2012^2+2012+1,$$ y a partir de aquí se puede calcular el número a mano.

Answer 2

Pista La da el triple de $(1, 2012, 2013)$ tiene la característica especial de que $1 + 2012 = 2013$. Esto motiva a escribir como el cociente $$\frac{a^4 + b^4 + (a + b)^4}{a^2 + b^2 + (a + b)^2}$$ para $a = 1, b = 2012$.

Sugerencia adicional, Ampliando el numerador, podemos ver que factores como $2(a^2+ab+b^2)^2$

Answer 3

Sugerencia:

$$\frac{1^4+x^4+(x+1)^4}{1^2+x^2+(x+1)^2}=x^2+x+1$$