Tratando de mostrar que $z \mapsto f_z : \mathbb{C} \to L^1(\mathbb{R})$ es complejo diferenciable donde $f_z(x) = e^{-(x+z)^2}$

Question

Deje que $g$ ser la función completa $g(z) = e^{-z^2}$ . Nota $g$ es integrable a lo largo de cada línea horizontal. Para cada número complejo $z \in \mathbb{C}$ define $f_z : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ por $f_z(x) = g(z+x)$ . Estoy tratando de mostrar que el mapa $z \mapsto f_z : \mathbb{C} \to L^1(\mathbb{R})$ es complejo diferenciable en el sentido de que, para todos $z \in \mathbb{C}$ , $$\frac{f_{z +h} - f_z}{h} \to (f_z)'$$ en $L^1$ como la variable compleja $h \to 0$ . En otras palabras, quiero mostrar que, para todos $z \in \mathbb{C}$ , $$ \int_{-\infty}^\infty \left| \frac{g(z+h+x) -g(z+x)}{h} - g'(z+x) \right| \ dx \to 0$$ como $h \to 0$ . No hay nada malo en asumir $z$ es puro imaginario arriba, ya que la integral es la traducción invariable en la dirección real.

Hasta ahora he tenido la idea de escribir $$g(z+h+x) -g(z+x) = \int_0^1 g'(z+th +x) \ d(th) = h \int_0^1 g'(z+th+x) \ dt$$ y $$ g'(x+x) = \int_0^1 g'(z+x) \ dt$$ para que $$\frac{g(z+h+x) -g(z+x)}{h} - g'(z+x) = \int_0^1 \left( g'(z+th + x) - g'(z+x) \right) \ dt,$$ que está limitada en su magnitud por la mayor variación de $g'$ sobre la línea de $z+x$ a $z+h+x$ . Esto parece significar, quizás, que hay una estimación de $$\int_{-\infty}^\infty \left| \frac{g(z+h+x) -g(z+x)}{h} - g'(z+x) \right| $$ relacionadas con un área integral de $|g''|$ en la franja delimitada entre las líneas $\{z+x:x + \mathbb{R}\}$ y $\{z+x+h:x \in \mathbb{R}\}$ ?

De todos modos, estoy empezando a confundirme. La ayuda sería apreciada.

Answer 1

La diferenciación bajo el signo integral es dolorosa, es mejor integrarse. En consecuencia, yo empezaría con $\psi(z)=-2ze^{-z^2}$ , $\psi_z(x)=\psi(x+z)$ y considerar el mapa $z\mapsto \psi_z $ de $\mathbb C$ a $L^1(\mathbb R)$ . Este mapa es continuo: como $h\to 0$ las funciones $\psi_{z+h}$ convergen en el sentido de la palabra para $\psi_{z}$ y ellos están todos dominados por algún gaussiano.

Arreglar $z$ . Dado $\epsilon>0$ podemos encontrar $\delta$ de tal manera que $\|\psi_{z+h}-\psi_z\|_{L^1}<\epsilon$ siempre que $|h|<\delta$ . Desde $$\frac{f_{z+h}-f_z}{h} = \int_0^1 \psi_{z+th} \,dt\tag{1}$$ se deduce que
$$\left\|\frac{f_{z+h}-f_z}{h} - \psi_z\right\|_{L^1} \le \int_0^1 \|\psi_{z+th}-\psi_z\|_{L^1} \,dt <\epsilon$$ siempre que $|h|<\delta$ .

Con respecto a (1): la integral de la derecha puede entenderse como el límite de las sumas de Riemann (digamos, sobre las sumas convergen puntualmente hacia la izquierda, y el teorema de convergencia dominado asegura convergen en $L^1$

Answer 2

Si se dan dos parábolas cualesquiera $p_1,p_2$ es intuitivamente obvio que hay una tercera parábola $p$ de tal manera que $p \leq p_1,p_2$ . Esta es bastante bien la idea detrás de lo siguiente:

Hecho: Arreglar $M > 0$ . Entonces, la parábola $x^2/2 - M^2$ es menor o igual que la parábola $(x+a)^2$ para todos $a \in [-M,M]$ .

Desde $x \mapsto e^{-x}$ es revertir el orden, lo conseguimos:

Corolario: Arreglar $M > 0$ . Entonces cada uno de los Gaussianos $e^{-(x+a)^2}$ , $a \in [-M,M]$ está limitado por el Gaussian $e^{M^2} e^{-x^2/2}$ .

Bien, ahora deja que $f(z) = e^{-z^2}$ que está completo con un derivado complejo $\psi(z) = -2z e^{-z^2}$ . En consecuencia, obtenemos las familias de las funciones $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$
\begin f_z(x) = f(x+z) && \psi_z (x) = \psi (x+z) \end {alineado*} con $z$ que se extiende a lo largo de $\mathbb{C}$ .

Reclamar: Si $z = a+ib$ donde $|a|,|b| \leq M$ entonces tenemos los límites: \begin f_z(x) | \leq e^{2M^2} e^{-x^2/2} && | \psi_z (x)| \leq 2e^{2M^2} (|x| +M )e^{-x^2/2}. \end {alineado*} Esto muestra que las familias $\{f_z\}$ , $\{\psi_z\}$ , $z \in \mathbb{C}$ están en $L^1(\mathbb{R})$ y, además, que, cuando $z$ está limitada a alguna región delimitada, habrá una $L^1$ función que domina el lote.

Prueba: $$f_z(x) = e^{-(x+a)^2} e^{-2i(x+a)b } e^{b^2}$$ de donde $$|f_z(x)| \leq e^{-(x+a)^2} e^{b^2} \leq \left( e^{M^2} e^{-x^2/2} \right) \left( e^{M^2} \right) = e^{2M^2} e^{-x^2/2}.$$ También $$|\psi_z(x)| = |-2(x+z) f_z(x)| \leq 2( |x| + M) e^{2M^2} e^{-x^2/2}$$

Ahora, queremos probar que, para cualquier $z \in \mathbb{C}$ , $$ \left\| \frac{f_{z+h} - f_z}{h} - \psi_z \right\|_1 \to 0$$ como la variable compleja $h$ tiende a $0$ . Obviamente esto se mantiene en el punto de vista de $\mathbb{R}$ desde $\psi_z$ es, en efecto, el derivado de $f_z$ . Sólo queremos una función dominante para que se aplique la convergencia dominada. Para cada uno $x \in \mathbb{R}$ escribimos $$\frac{ f_{z+h}(x) - f_z(x)}{h} - \psi_z(x) = \frac{ f(x + z+h) - f(x+z)}{h} - \psi(x+z) = \int_0^1 \left( \psi(x+z+th) - \psi(x+z) \right) \ dt = \int_0^1 \left( \psi_{z+th}(x) - \psi_z(x) \right) \ dt$$ para que $$ \left| \frac{ f_{z+h}(x) - f_z(x)}{h} \right| \leq \int_0^1 \left| \psi_{z+th}(x) - \psi_z(x) \right| \ dt \leq \max_{ 0 \leq t \leq 1} |\psi_{z+th}(x)| + | \psi_z(x)|$$ Pero, ya que $\{ z+th: 0 \leq t \leq 1\}$ es un conjunto acotado de números complejos (suponiendo, sin daño alguno, que $|h| \leq 1$ ), tendremos nuestra función dominante por la demanda.