Resolver ecuación: $25x+9\sqrt{9x^2-4}=\frac{2}{x}+\frac{18x}{x^2+1}$

Question

Resolver la ecuación: $25x+9\sqrt{9x^2-4}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{x^2+1}$

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Usé wolframalpha.com y obtuve la única solución $x=-\dfrac{1}{\sqrt2}$

Y este es mi intento:

Dominio: $|x|\ge\dfrac{2}{3}$

Si $x\ge\dfrac{2}{3}$, tenemos:

$\dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{x^2+1}\le3+\dfrac{18x}{2x}=12$ y $25x+9\sqrt{9x^2-4}\ge25x\ge\dfrac{50}{3}$ (sin solución)

Si $x\le\dfrac{-2}{3}$,... (no tengo idea en este caso)

Answer 1

Vuelve a escribir tu ecuación en la forma $$9\sqrt{9x^2-4}=\left(\frac{2}{x}+\frac{18x}{x^2+1}-25x\right)^2$$ esto se puede escribir en la forma $$4(-1+2x^2)(1+78x^2+117x^4+13x^6)=0$$ resolviendo esto obtenemos $$x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$$ solo el número con $$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$ es la solución buscada.