¿Esta orbifold incrustar en $\mathbb{R}^3$?

Question

Deje $X$ ser el espacio obtenido por pegando dos de congruencia de triángulos equiláteros correspondiente a lo largo de los bordes.

Tenga en cuenta que $X$ tiene la estructura de un colector de Riemann, excepto en la de cono de tres puntos. En particular, $X$ es una de Riemann orbifold.

Hay un isométrico de la incrustación de $X$ a $\mathbb{R}^3$?

Answer 1

Si desea que la imagen sea convexa, entonces no. De lo contrario, mi conjetura es que de Kuiper del teorema da una incrustación de...

Answer 2

El límite común de los dos triángulos es una curva en el plano cuyo interior es isométrico a cada uno de los 2-simplices su orbifold $X$. Por la solución de Es un isométrico de la incrustación de un disco determinado por el límite?, la involucración de la frontera se extiende de una manera única a un isométrico de la involucración de su interior. De ahí que las imágenes de ambos 2-simplices deben ser idénticos. En particular, cualquier mapa isométrico $X\to\mathbb{R}^3$ no puede ser una involucración.