Computar: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac {1\cdot 3\cdots (2n-1)} {2\cdot 4\cdots (2n)\cdot (2n+1)}$

Question

Calcula la suma: $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac {1\cdot 3\cdots (2n-1)} {2\cdot 4\cdots (2n)\cdot (2n+1)}$$ De momento, sólo sé que es convergente y esto no es difícil de ver si se miran las respuestas aquí He recibido por otro problema con una serie similar. Para los pasos posteriores necesito
algunas pistas si es posible. Gracias.

Answer 1

Empezando por la serie de potencias derivada mediante el teorema del binomio, $$ (1-x)^{-1/2}=1+\tfrac12x+\tfrac12\tfrac32x^2/2!+\tfrac12\tfrac32\tfrac52x^3/3!+\dots+\tfrac{1\cdot2\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots2n}x^n+\cdots $$ e integrando, obtenemos la serie para $$ \sin^{-1}(x)=\int_0^x(1-t^2)^{-1/2}\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty\tfrac{1\cdot2\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots2n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} $$ Configurar $x=1$ obtenemos $$ \sum_{n=1}^\infty\tfrac{1\cdot2\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots2n}\frac{1}{2n+1}=\sin^{-1}(1)-1=\frac\pi2-1 $$

Answer 2

Reescribamos esto como : $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {1\cdot 3\cdots (2n-1)} {2\cdot 4\cdots (2n)\cdot (2n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(2n)!} {4^n (n!)^2(2n+1)}$$ Pero esto no es más que la expansión de $\arcsin(x)-1$ para $x=1$ como se encuentra en este página sobre las series binomiales centrales : $$\arcsin(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{2n+1}\left(\frac x2\right)^{2n+1}$$

Es decir $\ \displaystyle \arcsin(1)-1=\frac {\pi}2-1$

El enlace anterior a la obra de Boris Gourévitch relativa a $\pi$ es bastante interesante por las numerosas relaciones que se dan en torno a $\binom{2n}{n}$ y porque muestra que el término binomial central puede estar tanto en el numerador como en el denominador (ver $(378)$ ).
Estará en el numerador para $\arcsin(x)$ y en el denominador para $\arcsin(x)^2$ y $\dfrac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$ (relación $(396)$ ¡) !

Answer 3

Tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac {1\cdot 3\cdots (2n-1)} {2\cdot 4\cdots (2n)\cdot (2n+1)} = \sum_{n=1}^\infty {2n\choose n}\frac{1}{4^n(2n+1)}.$$ Ahora, fíjate en que $$\int_0^{1/2}dx\, 2x^{2n} = \frac{1}{4^n(2n+1)}.$$ Por lo tanto, sólo tenemos que calcular la suma $$\begin{eqnarray*} 2\sum_{n=1}^\infty {2n\choose n}x^{2n} &=& 2\sum_{n=0}^\infty {2n\choose n}x^{2n} - 2 \\ &=& \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} - 2 \end{eqnarray*}$$ e integrar.