Solución a la pregunta cuadrática de la forma 0/0

Question

¿Cuáles son los posibles valores de $x$ para la siguiente ecuación:

$$\frac{x - 1}{1 - x} = \frac1x$$

Esta ecuación equivale a $$x^2 - 1 = 0$$

qué factores a $1, -1$ .

Sin embargo, es $1$ la respuesta correcta a la forma original de la ecuación? Dado que si se sustituye $1$ en la forma dada de la ecuación, el LHS se convierte en $\frac{0}{0}$ . Por si acaso, $1$ es realmente la respuesta correcta, por favor, explique cuál es el truco aquí.

Answer 1

Es no equivalente a $x^2-1=0$ . Puedes multiplicar ambos lados por $x(1-x)$ y obtener $x^2-1=0$ pero eso sólo es válido si el denominador $1-x$ no es $0$ y el denominador es $0$ cuando $x=1$ por lo que hay que comprobar por separado si $x=1$ es una solución de la ecuación original $\dfrac{x-1}{1-x}=\dfrac 1 x$ . Y no lo es. Así que la ecuación original es en realidad equivalente a esto: $$ x^2-1=0\text{ and } x\ne 1. $$

Answer 2

Obsérvese que la ecuación $\frac{x-1}{1-x}=\frac{1}{x}$ sólo tiene sentido para $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{0,1\right\}$ Así que $x=-1$ es la única raíz de la ecuación original.

Answer 3

Para escribir la primera ecuación, hay una condición implícita en el momento en que se decide escribir $\frac{x-1}{1-x}$ para evitar la división por cero, que es $x\ne 1$ . Así, aunque la ecuación a la que se llega ( $x^2-1=0$ ) tiene soluciones $\pm 1$ , la condición debe ser considerada desde que se llegó a ella desde el principio.

Por ello, los posibles valores de $x$ para la ecuación son todos excepto $x=1$ y $x=0$ también (porque por la misma razón respecto a la divisibilidad, en el lado derecho $\frac{1}{x}$ no puede ser $x=0$ ).