Acerca De La Integración De $\int \frac{\tanh(\sqrt{1+z^2})}{\sqrt{1+z^2}}dz$

Question

Cómo calcular la siguiente integral

$$\int \frac{\tanh(\sqrt{1+z^2})}{\sqrt{1+z^2}}dz$$

Es hay alguna forma de calcular esos integral en la analítica? (Es $[0,\infty]$, en el caso de que la integral es posible?)

Cómo sobre el uso de métodos numéricos? Es que hay buen esquema numérico para completar esta integral?

A partir de la respuesta por @Lucian, La integral de $\displaystyle\int_0^\infty\bigg[1-\tanh(\cosh x)\bigg]~dx$ es converge.

Cómo se puede evaluar esta integral?

Answer 1

Es hay alguna forma de calcular esos integral en la analítica?

No. Dejando $x=\sinh t$,$~I=\displaystyle\int\tanh(\cosh x)~dx$, lo que no puede ser expresado en términos de funciones elementales. De hecho, no puede ser expresada en términos de las especiales funciones de Bessel.

Es $[0,\infty]$, en el caso de que la integral es posible?

No. La integral diverge, ya que el numerador está acotada arriba por $1$, y el denominador $\simeq x$.

Sin embargo, $\displaystyle\int_0^\infty\bigg[1-\tanh(\cosh x)\bigg]~dx$ hace converger a un valor de alrededor de $0.20769508925321053$.

Answer 2

creo que no es posible encontrar una antiderivada en el conocido funciones elementales