Theorema egregium violado en la dimensión de $n \ge 4$?

Question

Gauss demostró que para las superficies en $\mathbb{R}^3$ la curvatura de Gauss ( = de la sección transversal de la curvatura) es invariante bajo local isometrías. Esto se conoce como el thema egregium.

Ahora en otra pregunta (haga clic en me) he definido decir $3$ tipos de espacios:

1.) Localmente simétrica espacios. Eran de Riemann colectores con la propiedad de que $\nabla R=0$ en todas partes.

2.) Simétrica espacios. Eran ruta-conn. Riemann colectores de tal forma que hay para cada una de las $p \in M$ global isometría $f_p: M \rightarrow M$ tal que $f(\gamma(t)) = f(\gamma(-t))$ para todos los geodesics $\gamma: (-\varepsilon,\varepsilon) \rightarrow M$ satisfacción $\gamma(0)=p$ $Df_p(p) = -id.$

3.) Homogénea de los espacios. Eran espacios de admisión para cada $p,q\in M$ global isometría $\phi_{p,q}: M \rightarrow M$ tal que $\phi(p)=q$

y resultó que, aunque todos ellos tienen algún tipo de isometrías, que no tiene que tener curvatura constante en todo ( como me dijeron en la respuesta que obtuve o más abajo en los comentarios la respuesta en la previamente vinculado hilo.) Ahora, quiero saber si esto significa que el Theorema egregium que está equivocado en la dimensión de $n \ge 4$ o si me estoy perdiendo algo aquí?

Me refiero especialmente a la condición que tenemos para homogénea espacios se ve como algo que se debe preservar de la sección transversal de la curvatura, pero al parecer no. Homogénea espacios admitir global isometrías entre dos puntos cualesquiera. ¿Por qué no quiere esto decir que el tensor de curvatura es el mismo para estos dos puntos y por tanto es constante en el espacio homogéneo?

Si algo no está claro, por favor hágamelo saber.

Answer 1

La seccional de curvatura de Riemann colector $(M, g)$ de la dimensión real de $n > 2$ no es una función escalar en $M$, pero una función escalar $K$ sobre el Grassmannian paquete de $2$-planos de la tangente paquete. A decir $(M, g)$ "tiene curvatura constante" significa $K$ es una función constante, es decir, la curvatura seccional es el mismo para todos los $2$-aviones (en todos los puntos).

Un homogénea de Riemann colector tiene "la misma curvatura en cada punto" en el sentido de que si $p$ $q$ son puntos arbitrarios, no es una isometría $\phi$$(M, g)$$\phi(p) = q$; en consecuencia, la sección transversal de la curvatura de las funciones de $M$ $p$ y a las $q$ son "el mismo" (es decir, corresponden después de un ortogonales isomorfismo $\phi_{*}:T_{p}M \to T_{q}M$).

Sin embargo, esto no es suficiente para deducir la seccional de la curvatura es constante: Si $p$ es un punto de $M$, el estabilizador de la $p$ en el grupo de isometría de $(M, g)$ puede no actúa transitivamente sobre el conjunto de la $2$-planos en $T_{p}M$.

Para un ejemplo sencillo, vamos a $(M, g)$ ser una de Riemann producto de una unidad de $2$-esferas, lo que obviamente es homogénea. La seccional de la curvatura de una $2$-plano tangente a es el factor de unidad. La seccional de la curvatura de una $2$-plano atravesado por un vector tangente a la primer factor y un vector tangente a la segundo factor es cero. (El producto $S^{2} \times S^{2}$ contiene una gran cantidad de planos de tori, una de dos parámetros de la familia de la pena a través de cada punto).