Forma Integral de Gauss la ley para el magnetismo de Stokes teorema?

Question

¿Cómo puede la forma integral de Gauss la ley de magnetismo ser descrito como una versión de la general de Stokes teorema? ¿Cómo seguir?

Answer 1

Las ecuaciones de Maxwell en la curva el espacio-tiempo está escrito en el formulario $$\begin{split}\nabla_a F^{ab} &= - 4\pi J^b,\\ \nabla_{[a} F_{bc]} &= 0,\end{split}$$ with $F$ the Faraday two-form, $J^$ the current four-vector, $\nabla$ the covariant derivative and $[]$ denota antisymmetrization de los índices. En términos de cálculo exterior se convierten en: $$ \begin{split} d\star F &= 4\pi \star J\\ dF&=0,\end{split}$$ with $\estrella de$ the Hodge dual, which sends p-forms to $4-p$-forms in dimension 4. If we integrate the left side of the first equation over a space-like hypersurface of dimension 3, $\Sigma$, with normal time-like vector $t^a$, entonces Stokes teorema de los rendimientos $$\int_\Sigma d\star F = \int_S \star F,$$ with $S$ the boundary of $\Sigma$ with normal $n_a$. Since $\Sigma$ is space-like and $(\estrellas F)_{cd} = \frac{1}{2} F^{ab} \epsilon_{abcd}$, $S$ is also space-like and one component of $F$ must be time-like, therefore $\estrellas F = F^{ab} t_a n_b dS$. This is easy to see also if one takes the restriction of the dual on $S$ in local coordinates, all the 2-forms are space-like. But we know that $E_a = F_{ab} t^b$, por lo tanto $$\int_S \star F = -\int_S F^{ba} t_a n_b d S = -\int_S E_b n^b d S.$$ Ahora integramos el lado derecho, $$\int_\Sigma \star J = \int_\Sigma J^a \epsilon_{abcd}=\int_\Sigma J^a t_a d \Sigma = -q,$$ y después de la combinación de este y el anterior, obtenemos: $$\int_S E_a n^a d S = 4\pi q,$$ Gauss's law applies also in curved spacetime. Note that $\epsilon_{abcd}$ is the Levi-Civita (volume) tensor, not the symbol. In local coordinates its components are the product of the symbol with $\sqrt{|\det{g_{\mu\nu}}|}$.

Para el caso del campo magnético, $B_a = - \frac{1}{2} \epsilon_{abcd} F^{cd} t^b$, sólo el espacio-como componentes de $F_{ab}$ se utilizan, y el campo magnético de la parte del tensor de Faraday es $$F = F_{12} dx^1\wedge dx^2 + F_{23} dx^2\wedge dx^3 + F_{31} dx^3\wedge dx^1,$$ and the components of the field are $B^1 = - |\det g_{\mu\nu}|^{-1/2} F_{23}$, etc, por lo tanto, las integrales se convierten $$0=\int_S F = -\int_S \sqrt{|\det g_{\mu\nu}|} (B^1 dx^2\wedge dx^3 + B^2 dx^3\wedge dx^1 + B^3 dx^1\wedge dx^2) = - \int_S B^a n_a dS.$$

Answer 2

Así que en un espacio tridimensional Euclidiano tenemos un isomorfismo entre los vectores y 1-formas, la manera usual de $$\eta_\mu = g_{\mu\nu} \eta^\mu.$$ También tenemos un isomorfismo entre 1-formas y de 2 formas, dado por $\star : dz\mapsto dx\wedge dy$ y cíclicamente. Este isomorfismo tiene un nombre de fantasía, el dual de Hodge, si usted quiere saber acerca de él en general. Entonces si $B^\mu$ es el campo magnético, podemos hacer una 3-forma-algo que puede ser integrado a través de un volumen -- de salir de ella (i) reducir el índice para obtener una 1-forma (ii) tomar el dual de Hodge para obtener una 2-forma (iii) el uso de $d$ a un 3-forma. Más explícitamente, $$B_\mu = B_x dx + B_y dy + B_z dz$$ $$(\star B)_{\mu\nu} = B_x dy\wedge dz + B_y dz\wedge dx + B_z dx\wedge dy$$ $$(d\star B)_{\mu\nu\rho} = \frac{\partial B_x}{\partial x} dx\wedge dy \wedge dz + \frac{\partial B_y}{\partial y} dy\wedge dz\wedge dx + \frac{\partial B_z}{\partial z} dz\wedge dx\wedge dy$$ Pero esto es $$(d\star B)_{\mu\nu\rho} = \left(\frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \right) dx\wedge dy\wedge dz$$ que es lo que esas pobres almas que no saben acerca de formas diferenciales llamar a $\nabla \cdot \mathbf B$. Ahora usted puede simplemente aplicar Stokes maravilloso teorema!

Esto es lo que se debe enseñar en multivariable de cálculo, pero no!

Answer 3

Sin especificar cualquier escenario en particular, y haciendo caso omiso de cualquier constantes de proporcionalidad, simplemente considerar que algunos generales diferencial de la forma $\omega$, y dejar que este representa el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que delimita algunos de volumen V. En clásica del electromagnetismo, la ley de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga encerrada dentro de la superficie; en otras palabras, visualizar el flujo como "flujo de los tubos" que terminan en el interior del volumen V. Si $\omega$ representa el flujo de los tubos, a continuación, $d\omega$ representa sus puntos finales, y podemos escribir la ley de Gauss de manera sencilla e intuitiva como

$\displaystyle{\int_{\partial V}\omega =\int_{V}d\omega}$

Esto sólo es precisamente la generalización en el Teorema de Stokes - la cantidad de flujo de los tubos que terminan en el interior del volumen es igual a la cantidad de flujo de los tubos que cruzan la superficie.