Encuentra los valores y vectores propios de la matriz con todos los elementos diagonales como $d$ y descanso $1$

Question

Una matriz tiene todos los elementos 1 excepto los elementos diagonales. Es una $n\times n$ matriz. ¿Cuáles son los vectores propios y los valores propios?

Resolviendo problemas del libro de Strang y atascado en este y no tengo ni idea de por dónde empezar?

Answer 1

Un vector propio obvio es $(1,\ldots,1)^T$ con valor propio $d+n-1$ . Otros vectores propios casi tan obvios son $(1,0,\ldots,0,-1,0,\ldots,0)^T$ con valor propio $d-1$ . Como esto da $n$ vectores propios linealmente independientes, hemos terminado. (De hecho, cualquier vector ortogonal a $(1,\ldots,1)^T$ es un vector propio con valor propio $d-1$ ).

Answer 2

Denotemos la matriz como $M$ .
Dejemos que $J$ sea la matriz con todas las entradas $1$ .
La matriz $J$ tiene rango $1$ por lo tanto sólo un valor propio no nulo que es $n$ con el correspondiente vector propio $(1,1,\ldots,1)^T$ (cuáles son los vectores propios correspondientes a los valores propios $0$ ?).

Ahora bien, tenga en cuenta que $M=J+(d-1)I_n$ y que para cualquier matriz $A\in\mathbb R^{n\times n}, \ x\in\mathbb R^n$ y $r\in\mathbb R$ si $Ax=\lambda x $ entonces $(A+rI_n)x=(\lambda+r)x$ .

Answer 3

Sólo tienes que utilizar la reducción de filas para obtener la matriz en forma de escalón de fila. Las entradas en la diagonal serán los valores propios. Si tienes que hacer esto para el caso general, probablemente obtendrás algo parecido a $\lambda_1 = a_{1,1}$ , $\lambda_2 = a_{2,2,} - 1/a_{1,1}$ etc Los vectores propios deberían ser fáciles de obtener a partir de ahí.

Answer 4

El valor de sus valores propios y de los elementos diagonales es el mismo.