Demostrando una propiedad acerca de Gauss-Seidel

Question

Esta es una tarea de problema, así que por favor dar consejos o sugerencias en lugar de respuestas completas.

El problema es el siguiente:

Deje $G$ ser el de la matriz de iteración de Gauss-Seidel método; es decir, $$G=I-(D-L)^{-1} A$$ donde $D-L$ es la parte triangular inferior de a $A$, e $A$ es estrictamente fila diagonalmente dominante. Supongamos $x$ es cualquier vector con $||x||_\infty=1$, y deje $y=Gx$. Mostrar que $||y||_\infty<1$.

El problema es que no tengo absolutamente ni idea de por dónde empezar. He intentado expandir $y=Gx$$y=x-((D-L)^{-1}A)x$, pero eso es obviamente inútil.

Answer 1

De$y=Gx$,$(D-L)y=(D-L-A)x=Ux$. Seleccione $i$, de modo que $|y_i|=\|y\|_\infty$. Anote el $i$th ecuación

\begin{align}a_{ii}y_i+\sum\limits_{j=1}^{i-1}a_{ij}y_j=-\sum\limits_{j=i+1}^na_{ij}x_j\end{align}

y hacer un límite superior en $|y_i|$

\begin{align}|y_i|\leq|a_{ii}|^{-1}\left(\sum\limits_{j=1}^{i-1}|a_{ij}||y_j|+\sum\limits_{j=i+1}^n|a_{ij}||x_j|\right).\end{align}

A continuación, utilice $|y_j|\leq|y_i|$, $|x_j|\leq\|x\|_\infty\leq 1$, y la estricta fila diagonal de la dominación para obtener un límite superior en $|y_i|$ en términos de los valores absolutos de las entradas de $A$:

\begin{align}|y_i|\leq\frac{\sum\limits_{j=i+1}^n|a_{ij}|}{|a_{ii}|-\sum\limits_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|}.\end{align}

A continuación, utilice la diagonal de la dominación de nuevo a la conclusión de que la $|y_i|<1$.