Cómo mostrar $-\sup(-A)=\inf(A)$ ?

Question

Dejemos que $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ un conjunto acotado. Consideremos $-A=\{-a:a\in A\}$ . Quiero demostrar que $-\sup(-A)=\inf(A)$ .

Es fácil ver que $-\inf(A)$ es un límite superior de $-A$ Así que $\sup(-A)\le -\inf(A)$ entonces $-\sup(-A)\ge \inf(A)$ .

¿Cómo podemos demostrar que $-\sup(-A)\le \inf(A)$ ?

Gracias.

Answer 1

Debe trabajar directamente a partir de las definiciones de $\sup$ y $\inf$ . Es decir, demostrar que si $x = \inf(A)$ entonces $-x \ge b$ para todos $b \in {-A}$ (es decir $-x$ es un límite superior para $-A$ ) y que si $y \ge b$ para todos $b \in {-A}$ entonces $y \ge {-x}$ (es decir, $-x$ es un menos límite superior). Esto verifica que $-x$ es el sup de $-A$ y su demostración utiliza la definición (similar) de $\inf(A)$ .

Answer 2

El mapa $x \mapsto -x$ es una biyección inversora de orden $\mathbb R \to \mathbb R$ .

Envía límites inferiores para $A$ a los límites superiores de $-A$ y viceversa, de ahí el resultado.

Answer 3

Puedes redondear el argumento utilizando una bonita simetría. En particular, ya lo tienes: $$-\sup(-A)\geq \inf(A)$$ y fácilmente, por el mismo razonamiento, que $$-\inf(-B)\leq \sup(B)$$ Ahora, si ponemos $A=-B$ entonces obtenemos, a partir de la primera desigualdad, que: $$-\sup(B)\geq \inf(-B)$$ y luego negar ambos lados: $$\sup(B)\leq -\inf(-B)$$ pero podemos simplemente añadir la segunda desigualdad $$\sup(B)\leq -\inf(-B)\leq \sup(B)$$ lo que implica $-\inf(-B)=\sup(B)$ .

Answer 4

Mi enfoque es similar al de @CliveNewstead, pero luego dejo que $-\gamma = \sup(-A)$ y utilizó el hecho de que el infimo es único.

Desde $A$ es no vacío y está acotado por debajo, $A = \{a:a\in A\}$ y $\inf(A) = \alpha$ . Ahora, $-A = \{-a:a\in A\}$ también es no vacía. Como $\alpha$ es el infimo de $A$ , $\alpha\leq a$ para todos $a\in A$ . Multiplicando por $-1$ obtenemos la siguiente desigualdad $$ -\alpha\geq -a. $$ Eso es, $-\alpha$ es un límite superior de $-A$ . Supongamos que $-\gamma = \sup(-A)$ y $\varepsilon > 0$ . Entonces $-\gamma + \varepsilon\not\in -A$ $$ -\alpha\geq -\gamma + \varepsilon\geq -\gamma\geq -a $$ De nuevo, multiplicando por uno negativo, tenemos $$ \alpha\leq \gamma - \varepsilon\leq\gamma\leq a $$ pero $\gamma - \varepsilon\notin A$ así que $\gamma$ es un límite inferior de $A$ lo que contradice el hecho de que $\alpha$ es el mayor límite inferior de $A$ . Con el fin de $\gamma$ para ser el límite inferior, $\gamma = \alpha$ ya que el infimo es único. Así que $-\alpha$ es el sumo de $-A$ . Por lo tanto, $\alpha = \inf(A) = -\sup(-A) = -(-\alpha) = \alpha$ .

Answer 5

Básicamente, utilizando la definición de supremum e infimum podemos ver fácilmente que: $$ \sup(A) \Longleftrightarrow \exists c_0 = \min\{c|\forall a \in A: a \le c\} $$ $$ \sup(-A) \Longleftrightarrow \exists c_1 = \min\{c|\forall \bar a \in -A: \bar a \le c\} = \min\{c|\forall a \in A: -a \le c\} $$ $$ -\sup(-A) \Longleftrightarrow \exists c_2 = \max\{c|\forall a \in A: a \ge c\} = \inf(A) $$