He oído que uno puede demostrar que la clásica clasificación de las superficies teorema uso de la teoría de Morse. Estoy pensando en el aprendizaje de este enfoque como una manera de motivar y conseguir cómodo con Morse teoría de las ideas, pero tengo curiosidad de saber si hay algún conocimiento especial que este enfoque tiene para esta clasificación específica esfuerzo. En la Wikipedia se describe Morse homología teoría y decir que es una forma "fácil" de entender la homología de suave colectores. Por qué? Puede que esto se ha visto en la clasificación de superficies, Morse estilo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tal vez esto debería ser un comentario, pero era un poco demasiado largo. Primero, permítanme decir que nunca he estudiado la clasificación de las superficies a través de la teoría de Morse. Una rápida búsqueda en google me dio el siguiente documento (que probablemente ya se encuentra), que parece describir en detalle. http://www.math.csi.cuny.edu/~,/papers/clasificación.pdf .
Clásicos de la teoría de Morse se describe cómo subnivel conjuntos de $f^a=\{x\in M|f(x)\leq a\}$ cambio de topología cuando uno pasa a través de los valores críticos de una lo suficientemente buena función $f$. Mediante el estudio de estos cambios de topología, uno en el fin de obtener una descripción completa de la homotopy tipo de colector $M$. Esto puede ser hecho usando el gradiente de flujo de $f$. Por trabajar más duro puede mejorar esta situación con handlebodies para obtener el diffeomorphism tipo.
El siguiente es sólo mi especulación en la clasificación. En dos dimensiones, sólo puntos críticos de índice $0,1,2$ son posibles, por supuesto. No todas las posibles combinaciones de estos tipos de puntos críticos, puede ocurrir. Por ejemplo, en una superficie compacta, que siempre tienen al menos un punto crítico de índice 0 y 2, que viene de los máximos y mínimos de la función de Morse. Estos, por supuesto, existen debido a $M$ es compacto. Pensando en cómo estos puntos críticos, puede ocurrir, puede clasificar el colector $M$$f$.
Como un comentario, no creo que Morse homología es la manera más fácil de hacer la teoría de la homología. Para obtener la totalidad de Morse teorema, usted necesita un poco de trabajo. Sin embargo, los números de Betti puede ser extremadamente fácil de calcular, el uso de la teoría de Morse. El Morse Lacunary principio dice por ejemplo que si se puede construir una función de Morse con ningún extraño índice de los puntos críticos en $M$, entonces los números de Betti es igual al número de puntos críticos con ese índice.
