Qué $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-y+\sin(x^2)$ tiene un único y bien definido de la solución en $y\in[0,\infty)$ cualquier $y(0)\in\mathbb{R}$? Para una solución única que existe, ¿necesitamos a $\sin(x^2)$ a nivel local Lebesgue integrable en $[0,\infty)$?
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Sugerencia : Este es un clásico ejemplo de la elaboración de una existencia y unicidad caso por Piccard o Teorema de Peano y a través de la continuidad Lipschitz. Voy a ofrecer un general elaboración de abajo.
Deje que la ecuación diferencial del problema del problema específico de un valor inicial, será de :
$$y' = -y + \sin(x^2), \quad y(x_0)=y_0 $$
Considere la función :
$$f(x,y) = -y + \sin(x^2)$$
Entonces, es obvio que $D_f = \mathbb R^2$ y que la función de $f$ es continuo en el $\mathbb R^2$.
Luego, después de Piccard del Teorema de Existencia (o de Peano, respectivamente), dado el problema de valor inicial tiene una solución, porque la $f$ es continuo, o en otras palabras, $f$ es continua sobre un intervalo de la forma :
$$D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : |x-x_0|<a, \space |y-y_0| < b\}, \space \text{where} \space a,b>0$$
Esto significa que una solución para el IVP existe en $D$ y está bien definido en la misma.
Para proceder acerca de la singularidad, usted necesita demostrar que $f_y$ es acotado, o en otras palabras $f$ es Lipschitz continua.
La derivada de $f$ con respecto al $y$ es :
$$f_y = \frac{\partial (-y + \sin(x^2))}{\partial y} -1$$
en el que claramente se produce un delimitada/rodeado caso, como para :
$$\lim_{y\to \pm \infty} f_y=-1$$
Esto significa que la solución es única.
Nota 1 : Manipular el caso de $x_0 = 0$ y un valor inicial específico producirá resultados más específicos, como para la existencia y unicidad en $[0,\infty)$.
Nota 2: Tomar en cuenta que la existencia y la unicidad de una solución a un determinado IVP no significa necesariamente que uno puede encontrar la solución en términos de funciones estándar.
David C. Ullrich
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De hecho es mucho más fácil que el uso general de los teoremas acerca de la existencia y unicidad. En el primer semestre DE curso se aprende un método de solución de primer orden ecuaciones lineales, y, a diferencia de un montón de cosas que uno aprende en ese supuesto, el algoritmo contiene, esencialmente, una prueba de que es correcta.
Si $g$ es continua entonces $y'+y=g$, $y(0)=a$ tiene una única solución.
Prueba: Desde $e^t\ne0$, $y'+y=g$ es equivalente a $$e^{t}y'+e^ty=e^tg(t),$$or $$(e^tg(t))'=e^tg(t).$$
Pero desde $e^tg(t)$ es continua, primaria cálculos muestran que existe una única función de $f$ tal que $$f'(t)=e^tg(t),\quad f(0)=a.$$
(Existencia: Vamos A $f(t)=a+\int_0^t e^sg(s)\,ds$. Singularidad: Si $f_1$ $f_2$ son dos soluciones, a continuación,$(f_a-f_2)'=0$, lo $f_1-f_2$ es constante. Pero $f_1(0)-f_2(0)=0$.)
