Obtener una función explícita a partir de una expresión implícita

Question

Sea $y=y(x)$ una función definida de manera implícita como $$xy+\ln(xy)=1$$ cerca del punto $P(1,1)$.

Tengo que encontrar la expresión explícita $y(x)$ y los valores $y'(1)$ y $dy(1)$.

He intentado aplicar el exponencial a ambos lados pero no pude encontrar una solución: $$ e^{xy}xy=e $$ no parece ser de mucha ayuda.

Además, el uso de la diferenciación implícita no me ayudó mucho a obtener $y'(1)$. Si no me equivoco, al diferenciar implícitamente se obtiene $$y+xy'+\frac{1}{x}+\frac{y'}{y}=0$$

Pero aún no veo cómo puedo obtener el valor de $y'(1)$ a partir de esto. En cuanto a $dy(1)$: ¡no tengo ni idea de cómo podría obtener eso!

Cualquier ayuda/sugerencia sería apreciada.

Answer 1

Hasta ahora tienes $$y+xy'+\frac{1}{x}+\frac{y'}{y}=0\\y'(1+xy)+y^2+\frac yx=0\\y'(1+xy)+\frac {y(xy+1)}x=0\\(xy'+y)(1+xy)=0\\y=-\frac1x\text{ o } (xy)'=0\implies xy=c\implies y=\frac cx$$Así que la solución general es $y=\frac cx$.

Sustituyendo nuevamente en la ecuación original, $$xy+\ln(xy)=c+\ln c=1$$La única solución a esto es $c=1$. Esto se puede ver comparando las gráficas de $\ln x$ y $1-x$: solo se intersectan en un punto, y ese es en $x=1$.

Answer 2

Debe ser $$y(x)+xy'(x)+\frac{1}{xy(x)}\cdot (y(x)+xy'(x))=0$$ comentario: tu segunda ecuación debe ser $$e^{xy}=e^{1-\ln(xy)}$$ la ecuación $$e^{xy}xy=e$$ es correcta actualmente.

Answer 3

Pista Estás en el camino correcto para encontrar $y$: Podemos reescribir el lado izquierdo de la expresión $$y + x y' + \frac{1}{x} + \frac{y'}{y} = 0$$ que se produce al diferenciar implícitamente la fórmula original como $$\left(1 + \frac{1}{xy}\right)(y + x y') = 0 .$$ Hay una familia de soluciones de un parámetro $y(x)$ que satisfacen esta ecuación (diferencial ordinaria) en $y$, pero como descartamos cierta información al diferenciar, no todas estas soluciones necesariamente satisfacen la ecuación original. Por lo tanto, debemos sustituir nuestra solución general en la ecuación original y ver para qué valores de parámetros se satisface esa ecuación (resulta que lo hace precisamente para uno).

Answer 4

La solución a $$u+\ln(u)=1$$ o equivalente a $$ue^u=e$$ está dada por la función de Lambert-W, $$u=W_0(e)=1.$$ Dado que para argumentos positivos solo hay una rama real de esa función, la solución es única y $$ xy(x)=1\iff y(x)=\frac{1}{x}. $$