La comprobación de la la diferenciabilidad de la siguiente función

Question

Compruebe la la diferenciabilidad de la siguiente función $$f(x)=(x+1)|x^2-1|$$ at points $x=1$ and $x=-1$.

Mi enfoque

He escrito a la función en la forma siguiente:

$$f(x)=\begin{cases} x^3-x+x^2-1 & \text{ if } x\leq-1,x\geq1 \\ x-x^3+1-x^2 & \text{ if } -1<x<1 \end{casos}$$

Ahora bien, teniendo derivados:

$$f'(x)=\begin{cases} 3x^2-1+2x & \text{ if } x\leq-1,x\geq1 \\ 1-3x^2-2x & \text{ if } -1<x<1 \end{casos}$$

Claramente, por encima de la derivada es continua en a $x=-1$ y discontinua en $x=1$, de ahí que la función sea diferenciable en a$x=-1$$x=1$.

Hice todo correctamente? No estoy seguro acerca de esto, y la respuesta no ha sido proporcionada en la respuesta manual.

Answer 1

Sí estás en lo correcto. También se puede ver en el gráfico

Answer 2

La función ist no diferenciable en a $x=1$:

$\lim_{x\to 1+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=4$

y

$\lim_{x\to 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-4$.

Answer 3

No diferenciable en a $x= 1:$

$f(x)=(x+1)|(x+1)(x-1)| = (x+1)^2 |x-1|$

para $x>0.$

Considere la posibilidad de : $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} =$

$\dfrac{(x+1)^2|x-1| }{x-1}.$

$\lim_{x \rightarrow 1^-} \dfrac{(x+1)^2(1-x)}{x-1}=-4.$ $\lim_{x \rightarrow 1^+} \dfrac{(x+1)^2(x-1)}{x-1}= 4.$

No diferenciable en a $x=1.$

Answer 4

Esto no es correcto. A partir de la equality$$f(x)=\begin{cases} x^3-x+x^2-1 & \text{ if } x\leqslant-1,x\geqslant1 \\ x-x^3+1-x^2 & \text{ if } -1<x<1 , \end{cases}$$all you can deduce automatically is that$$f'(x)=\begin{cases} 3x^2-1+2x & \text{ if } x<-1,x>1 \\ 1-3x^2-2x & \text{ if } -1<x<1 \end{cases}$$(the inequalities became strict). Since $\lim_{x\to-1^\pm}f'(x)=0$, you can deduce that $f'(-1)=0$. On the other hand, from the fact that $\lim_{x\to1^+}f'(x)\neq\lim_{x\to1^-}f'(x)$ (and both limits exist), you can deduce that $f'(1)$ no existe.

Otra manera de probar que es diferenciable en a $-1$ está:\begin{align}\lim_{x\to-1}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}&=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)|x^2-1|}{x+1}\\&=\lim_{x\to-1}|x^2-1|\\&=0.\end{align}