Me gustaría calcular:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+n)} \mathrm dx $$ $$ n\geq 2$$
Así que mi pregunta es cómo puede encontrar la expansión de la fracción parcial de la
$$ \frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+n)} \; ?$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
SUGERENCIA: he Aquí un truco para encontrar parcial fracción expansiones. Calcular
$$\lim_{x\to -k} \frac{(x+k)}{(x+1)(x+2)...(x+n)} \; .$$
Esto debe permitir que el coeficiente del término $1/(x+k)$ en la expansión.
EDIT: Como Américo señala la fracción parcial de expansión es
$$\frac{1}{\left( x+1\right) \left( x+2\right) \cdots \left( x+n\right) } =\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!\a la izquierda( n-k\right) !}\cdot\frac{1}{x+k} \; . $$
La integral indefinida de esa expansión es
$$\ln\left( \prod_{k=1}^{n}(x+k)^{\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!\left( n-k\right) !}} \right) \; .$$
En el momento de rellenar el límite superior, se puede ver que el resultado debe ser cero como la principal potencia en $x$ para el producto es $0$ porque
$$0 = (1-1)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{k} (n-1)!}{(k)!\left( (n-1)-k\right) !} = (n-1)! \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!\left( n-k\right) !} \; .$$
Por lo tanto, nos quedamos con el límite inferior de la
$$-\ln\left( \prod_{k=1}^{n}(k)^{\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!\left( n-k\right) !}} \right) \; .$$
Para $n=2,3$ $4$ usted obtener resp. $\ln 2$, $\ln(2/\sqrt{3})$ y $\ln(2^5/3^3)/6$.
El límite inferior también puede ser escrito como
$$\frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k-1} {n-1 \choose k} \ln(1+k) \; .$$
Alex Bolotov
Puntos
249
Si $$\frac{1}{(x+1)(x+2)\dots(x+n)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{A_i}{x+i}$ $
Calcular $A_k$, multiplicar por $(x+k)$ y $x = -k$.
De hecho, esto puede usarse para demostrar, que cualquier polinomio $P(x)$ con distintas raíces $\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n$, que
$$\frac{1}{P(x)} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{P'(\alpha_j)(x-\alpha_j)}$$
donde $P'(x)$ es el derivado de $P(x)$.
Dan Walker
Puntos
3466
Basada en mis cálculos en SWP $2\leq n\leq 8$ y conjetura la extensión siguiente
$$\begin{equation*} \frac{1}{\left( x+1\right) \left( x+2\right) \cdots \left( x+n\right) } =\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!\left( n-k\right) !}\cdot\frac{1}{x+k}. \end{ecuación *} $$
Añadido. ¿Cómo probar o refutar? Inducción no parece fácil.
Añadido 2. Se deduce de la respuesta de Aryabhata. Ver comentario más abajo.
