Deje $R$ ser un PID cómo puede uno demostrar que para todos los que no sean cero $a,b \in R$ $R/(a) \oplus R/(b) \cong R/gcd(a,b) \oplus R/lcm(a,b) $. No tengo idea de cómo definir a un isomorphsim lo que he intentado es definir $f([x],[y])=([gcd(x,y)], [lcm(x,y)])$. Yo no llegar a ninguna parte con que mi mapa no es probablemente aún bien definido, me perdí en los cálculos. Así que, ¿alguien sabe cómo encontrar la deseada isomorfismo.
Gracias de antemano
Considere la secuencia exacta $0\rightarrow S\rightarrow R^{2}\rightarrow V\rightarrow 0.$ Escritura canónica de bases de $R^{2}$$e_{1},e_{2}$, los generadores de $S$$\{f_{1},f_{2}\}$.
Vamos $(f_{1},f_{2})=(e_{1},e_{2}) \left(\begin{matrix} a&0\\ 0&b \end{de la matriz}\right)$,then $V=R/(a)\oplus R/(b).$
La forma normal de Smith $\left(\begin{matrix} a&0\\ 0&b \end{de la matriz}\right)$es $\left(\begin{matrix} gcd(a,b)&0\\ 0&lcm(a,b) \end{de la matriz}\right)$(esto puede ser logrado mediante la multiplicación de la izquierda y a la derecha por invertible plaza matrixs), por lo tanto tenemos:
$R/(a)\oplus R/(b)\cong V\cong R/(gcd(a,b))\oplus R/(lcm(a,b))$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
