Obtener el número de raíces reales de la siguiente quintic polinomio $$f(x)= x^5+x^3-2x+1$$
Mi planteamiento:
En primer lugar, en la visión del polinomio, se debe tener claro que es continua. También, $f(-\infty)=-\infty$$f(\infty)=\infty$. Por lo tanto, la función tiene al menos una raíz. Ahora, la derivada se calcula como:
$$f'(x)=5x^4+3x^2-2$$
el que da las dos soluciones de la $\pm\sqrt{\frac25}$. Ahora, necesitamos para la prueba de las raíces en cada uno de los intervalos. En el primer Intervalo, el valor de la función es negativa en $-\infty$ y positivo en $-\sqrt{\frac25}$. Por lo tanto, la función tiene una raíz en el intervalo. Luego, en el segundo Intervalo de la función disminuye pero nunca toques $x$-eje de la toma valor positivo en $\sqrt{\frac25}$. Además, la función de nuevo empezar a aumentar en el tercer Intervalo y es positivo en $\infty$. Por lo tanto, tiene sólo una raíz.
Es mi enfoque correcto? Mi libro de texto nos da la respuesta 3 uso del teorema de Rolle. Se dice que desde la $f'(x)$ tiene dos raíces, a continuación, $f(x)$ tienen tres raíces utilizando el teorema de Rolle. Gracias.
