Contraejemplo a criterio de Leibniz para la alternancia de la serie

Question

Tengo esta declaración y tengo que decir si es verdadero o falso:

Deje $\{a_n\}$ ser una verdadera secuencia.

$$\lim_{n\to +\infty} a_n = 0 \quad \implies \quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n \quad \text{converges}$$

Sé que, desde el criterio de Leibniz que:

Si $a_n \to 0$, $a_n$ es decreciente y positiva, a continuación, $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$ converge

A partir de este hecho, creo que la afirmación es falsa, pero yo no podía llegar con un infinitesimal de la secuencia que no disminuye y por esa razón es divergente. Traté de alguna función con $sin(\frac{1}{n})$ sin suerte.
Cualquier ayuda sería muy apreciada, gracias!

Answer 1

SUGERENCIA:

¿Qué sucede si $a_n=(-1)^n\frac1n$?

Answer 2

Marca Viola dio un ejemplo natural. Aquí es otro, donde $a_n>0$ todos los $n$: tomar $$a_n=\begin{cases}1/n,&\ n\ \text{ odd}\\ \ \\ 1/n^2,&\ \text{ %#%#% even } \end{casos}$$

Como se mencionó Mark, en lugar de $n$, uno puede tomar $1/n$ donde $a_n$ es cualquier secuencia divergente, y en lugar de $\{a_n\}$ uno puede tomar $1/n^2$ donde $b_n$ es cualquier positivos convergente de la secuencia.

Answer 3

Considere la posibilidad de $a_n=(-1)^{n+1}\frac1n$...

$\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n=\sum_{n=1}^\infty-\frac1n=-\sum_{n=1}^\infty\frac1n=-\infty$...