Hay un $3\times3$ matriz de distintas positiva de los números primos cuyo determinante es $0$?
Me encontré con esto, mientras que la de intentar una respuesta parcial a una pregunta aquí (que me olvidé de mis favoritos). Sin embargo, he hecho ningún progreso.
Tenga en cuenta que $$2\cdot3+5=11$$ $$2\cdot7+17=31$$ $$2\cdot19+29=67$$ Por lo tanto, una posible matriz que satisface sus condiciones $$\begin{bmatrix}3&7&19\\5&17&29\\11&31&67\end{bmatrix}$$ Las filas son linealmente dependientes, dos veces la primera fila más el segundo equivale a la tercera. La matriz, por tanto, tiene determinante 0.
Como se ha mencionado por Mark Dickinson en la otra respuesta, la de Green–Tao teorema resulta infinitamente muchas de las matrices de los distintos números primos con determinante 0 en cualquier tamaño, el más pequeño de 3×3 por ejemplo $$\begin{bmatrix}3&5&7\\13&17&19\\23&29&31\end{bmatrix}$$ con dos veces la segunda fila la suma de los otros dos filas.
El extendido de Goldbach la conjetura implica que hay infinitamente muchas de esas matrices. Esta hipótesis implica que no sólo es todo número par mayor que 2 la suma de dos números primos, pero que los grandes números, todo puede ser escrito como la suma de dos números primos en muchas maneras diferentes.
Tomar cualquier 3 distintas suficientemente grandes números primos $p_1, p_2, p_3$. Entonces por Goldbach la conjetura podemos encontrar números primos $q_i,r_i$$2*p_i = q_i + r_i$$i = 1,2,3$. Por el extendido de Goldbach es una conjetura, podemos elegir estos números primos, de manera que todos los números primos son distintos. Claramente el determinante de
$$\begin{bmatrix}p_1&p_2&p_3\\q_1&q_2&q_3\\r_1&r_2&r_3\end{bmatrix}$$
es cero debido a que el doble de la primera fila es la suma de los otros dos.
No sé si usted puede probar la existencia de una infinidad de ejemplos sin utilizar cualquier suposición no probada.
En Editar En los comentarios @MarkDickinson dio un buen argumento que muestra que el Green-Tao teorema implica que hay infinitamente muchas soluciones, por lo tanto, no suposiciones no comprobadas son necesarios. Además, la Marca del argumento implica que existen infinitos $n \times n$ soluciones para cualquier $n \geq 3$ (es fácil ver que no $2 \times 2$ soluciones posibles). El Green-Tao teorema de los estados que no son arbitrariamente larga progresiones aritméticas de números primos, lo cual implica que para cualquier fija $k$ hay infinitamente muchas progresiones aritméticas de longitud $k$.
Si $n \geq 3$, pick $n^2$ de los números primos en una progresión aritmética. Organizar estos columna por columna en un $n \times n$ matriz $A$. A continuación, las filas están en progresión aritmética. Si $n = 3$ las filas que satisfagan la ecuación $R_1 - 2R_2 + R_3 = 0$. Si $n \geq 4$, las filas de satisfacer $R_1 - R_2 - R_3 + R_4 = 0$. Así, en todos los casos, las filas son linealmente dependientes por lo tanto el determinante es 0.
Este argumento puede ser utilizado para construir explícitamente ejemplos para $n \leq 5$, pero no explícita progresión aritmética de 36 números primos se conoce en la actualidad (según la Wikipedia, el récord actual es de 26). Un interesante problema de programación sería encontrar grandes singular de las matrices de los distintos números primos. Nota que la toma de $n^2$ de los números primos en arithemtic progresión es una exageración. Bastaría con encontrar $n$ discontinuo progresiones aritméticas de longitud $n$.
En editar más El poder completo de Green-Tao no es necesario. Usted obtener infinidad de tales matrices de tamaño $3 \times 3$ o más tan pronto como usted tiene infinitamente muchos discontinuo aritmética de las secuencias de longitud 3. Tales cosas pueden ser utilizados para inducir una dependencia lineal entre las 3 primeras filas, después de que el resto de filas puede ser llenado en forma arbitraria (sujeto a la restricción de que los números primos ser distintas). Aquí está una 5x5 ejemplo:
$$ \begin{bmatrix}3&11&13&19&29\\5&17&37&31&41\\7&23&61&43&53\\2&47&59&67&71\\73&79&83&89&97 \end{bmatrix} $$
Tenga en cuenta que esta $5 \times 5$ matriz se compone de los primeros 25 números primos. Puedes intercambiar 2 de 101 si no te gusta, incluso de los números primos. Con muy poca evidencia suponemos que, dado cualquier $n \geq 4$, puede organizar la primera $n^2$ números primos en un singular $n \times n$ matriz. He comprobado que funciona, al menos $n = 100$.
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