¿Es cierto que si $X$ es un espacio métrico separable, entonces el espacio de todas las funciones continuas sobre $X$ con la métrica del supremum también es separable?
Respuesta
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No. Considere la función en forma de triángulo $$ \varphi(x)=\max(1-2|x|,0) $$ entonces para cada secuencia binaria $s:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ definimos $$ f_s(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty s(n)\varphi(x-n) $$ Se puede demostrar que $\{f_s:s\in\{0,1\}^\mathbb{N}\}$ es un conjunto incontable de funciones con la propiedad $$ s'\neq s''\implies \Vert f_{s'}-f_{s''}\Vert_{C(\mathbb{R})}\geq 1 $$ Esto implica que $C_b(\mathbb{R})$ no es separable.
