He estado leyendo a DoCarmo y me siento bastante confundido por el hecho de que haya mencionado varias veces que las superficies compactas pueden considerarse como regiones sin límite, lo que se utiliza en la demostración de un corolario de Gauss-Bonnet y en varios otros lugares.
Pero no puedo entender por qué esto es así.
Gracias.
Intuitivamente, un límite es como una arista (conjunto de puntos límite que no están en el conjunto original). Sin embargo, la compacidad dice que todos los puntos límite están en el conjunto original. Por tanto, las superficies compactas no tienen límites. @Zen Lin dio algunos buenos ejemplos para insinuar esto. Como objetos incrustados (hablando intuitivamente), son su propia frontera dentro del espacio que las contiene.
No tengo el libro de DoCarmo en mi mesa, pero en "Elementary topics in differential geometry" de Thorpe se explica en la página 177 lo que es un $n$ -superficie con límite es. Es el objeto $M$ que obtienes cuando tomas la puesta a cero $S:=f^{-1}(0)$ de una función $f:\ {\mathbb R}^{n+1}\to{\mathbb R}$ , cortar $S$ a lo largo de curvas lisas disjuntas y desechar la parte no deseada de $S$ (más algunas condiciones técnicas).
Parece que con "región sin fronteras" DoCarmo se refiere a tal $M$ donde no se ha hecho ningún corte, de manera que en las fórmulas donde aparecen integrales a lo largo de las curvas límite estas integrales son trivialmente cero. A priori esto no tiene nada que ver con la compacidad: El $(x,y)$ -plano en $(x,y,z)$ -el espacio es un $M$ .
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He aquí algunas superficies compactas: la esfera $S^2$ , el toroide $S^1 \times S^1$ ...la botella de Klein... Por el contrario, cualquier subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ es no una superficie compacta, y de hecho, ningún subconjunto compacto de $\mathbb{R}^2$ es una superficie.